Kleinste Sigma-Algebra

19.10.2007, 20:19	Tanzbär	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinste Sigma-Algebra Hi! Ich habe eine Frage zur Bestimmung der kleinsten $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra: Es sei $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ nichtleer und $\begin{eqnarray} \varepsilon \subset P(\Omega) \end{eqnarray}$ . Gesucht ist jeweils die kleinste $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra welche $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ enthält. Eine Aufgabe lautet: (i) $\begin{eqnarray} \varepsilon = \{ U_1,U_2,\dots,U_n \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U_i \in P(\Omega) \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} U_i \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt sowie $\begin{eqnarray} \bigcup_{i=1}^n U_i = \Omega \end{eqnarray}$ Eine andere dann: (ii) $\begin{eqnarray} \varepsilon = \{ U_1,U_2,\dots,U_n \} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U_i \in P(\Omega) \end{eqnarray}$ ohne die Angaben disjunkt und daß die vereinigten Us Omega sind. Bei (i) dachte ich nun, daß die kleinste $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra folgendes enthalten muß: $\begin{eqnarray} \emptyset, \Omega, U_1,\dots,U_n \end{eqnarray}$ sowie alle möglichen Vereinigungen $\begin{eqnarray} U_{i_1} \cup \dots \cup U_{i_k} \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n \end{eqnarray}$ . Die (ii) müßte doch eigentlich genauso aussehen, nur daß zusätzlich noch die Komplemente hinzukommen, oder? Denn bei (i) sind die Komplemente ja jeweils die Vereinigung der "nicht berücksichtigten" Us und damit schon automatisch enthalten. Und bei (i) muß ich $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ nicht extra erwähnen, da es ja die Vereinigung aller Us ist, bei (ii) aber schon. Wie schaut es mit $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ aus? Es kann ja ein $\begin{eqnarray} U_i = \emptyset \end{eqnarray}$ sein - muß aber nicht. Also $\begin{eqnarray} \emptyset \end{eqnarray}$ darf ich nicht weglassen, oder? LG Tanzbär
21.10.2007, 19:25	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke das sieht soweit ganz gut aus. Auch deine Agumente (also Omega weglassen etc.) erscheinen sinnig. Ich denke das das so in Ordnung ist. Unter Umständen solltest du die Sigma-Algebra explizit aufschreiben für kleines n. Z.B. n=1,2,3. Dann sieht man manchmal vielleicht etwas was man vergessen hat
23.10.2007, 15:18	Tanzbär	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich müßte nochmal kurz nachfragen - und zwar bei Aufgabe (ii): Da wird nämlich auch nach der Anzahl der Elemente gefragt. Bei (i) konnte man das mit den paarweise disjunkten U's schön nachrechnen, aber bei (ii) dreht man ja durch. Man muß ja zusätzlich zu den Vereinigungen und deren Komplementen noch alle Schnitte, deren Komplemente und dann noch die symmetrischen Differenzen wieder mit allen Komplementen berücksichtigen. Ich habe das mal mit zwei Mengen durchgespielt und erhalte 16 Elemente. Gibts da eine Regelmäßigkeit - irgendwie $\begin{eqnarray} 4^{\text{Anzahl der Mengen}} \end{eqnarray}$ z.B. - oder muß man das wirklich "nachzählen"? LG, Tanzbär
23.10.2007, 16:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel schlimmer: Bei "allgemeiner" Lage - soll heißen, wenn wirklich jeder der $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Schnitte $\begin{eqnarray} ()\qquad V_1\cap V_2\cap \ldots \cap V_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} V_k\in \{ U_k, U_k^c \} \end{eqnarray}$ nichtleer* ist, dann bilden diese $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ Schnitte die disjunkten Grundelemente der Sigma-Algebra, also etwas wie in (i). Und aus diesen Grundelementen lassen sich dann durch Vereinigungen alle Mengen der Sigma-Algebra bilden, so dass $\begin{eqnarray} \|\mathfrak{F}\| = 2^{2^n} \end{eqnarray}$ gilt. Das ist aber wirklich der Extremfall, wenn eben () erfüllt ist. Allgemein kann man sagen $\begin{eqnarray} \|\mathfrak{F}\| = 2^m \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ die Anzahl der nichtleeren Schnitte nach Muster () ist, wobei dann auf jeden Fall $\begin{eqnarray} m\leq 2^n \end{eqnarray}$ gilt. EDIT: Schreibfehler korrigiert. Natürlich meinte ich bei den Mächtigkeitsangaben die von den Mengen $\begin{eqnarray} U_1,\ldots,U_n \end{eqnarray}$ erzeugte Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathfrak{F} \end{eqnarray}$ statt der Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ - sorry.
23.10.2007, 23:26	Tanzbär	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, mit diesen Schnitten wird das ja überschaubar. Dankeschön! LG, Tanzbär

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »