Elementargeometrie: Zwei Fragen rund um Geraden

20.10.2007, 12:36

Faelivrin

Elementargeometrie: Zwei Fragen rund um Geraden

Hallo Mathegemeinschaft,

ich habe hier zwei Fragen und brauche eure Hilfe, ob meine Lösungsansätze in die richtige Richtung gehen.

Frage 1:

Zeigen Sie für Punkte $\begin{eqnarray*} p,q,r \end{eqnarray*}$ einer Geraden $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Implikation:

$\begin{eqnarray*} (p,q,r)\in \mathcal A \Rightarrow \overline{pq} \cup \{ q\} \cup \overline{qr} = \overline{pr} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz:

Ich habe mir ein $\begin{eqnarray*} x \in \overline{pr} \end{eqnarray*}$ gewählt mit $\begin{eqnarray*} (p,q,r) \in \mathcal A \Rightarrow \begin{cases} x=q, \\ x \in \overline{pq}, \\ x \in \overline{qr} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Danach hab 3 Teilbetrachtungen untersucht: Für $\begin{eqnarray*} x \in \overline{pq} \end{eqnarray*}$ habe ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht links oder rechts von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ liegt sondern genau dazwischen, analog für $\begin{eqnarray*} x \in \overline{qr} \end{eqnarray*}$ Danach hab ich gezeigt, dass zwischen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x=q \end{eqnarray*}$ liegt.

Reicht das aus, um den Sachverhalt zu zeigen?

Frage 2:

Sei $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ eine Gerade. Zeigen Sie:

i) Die Beziehung $\begin{eqnarray*} q_{1} \end{eqnarray*}$ liegt auf der selben Site von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ wie $\begin{eqnarray*} q_{2} \end{eqnarray*}$ bildet eine Äquivalenrelation auf der Menge der nicht mit $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ indizierenden Punkte.
ii) Es gibt genau zwei Seiten von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ .

Für ii) hab ich mir überlegt, dass ich zu erst es zwei Seiten gibt und dann das es nicht mehr als zwei Seiten gibt. Soweit ok?

Für den ersten Teil der Aufgabe fehlt mir leider der Ansatz, vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.

Schönen Tag wünsche ich.
Faelivrin

20.10.2007, 14:27

20_Cent

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ sein?

mfG 20

20.10.2007, 15:51

Faelivrin

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Das ist ein Anordnungsaxiom und heißt, dass q zwischen p und r liegt.

20.10.2007, 16:17

Poff

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RE: Elementargeometrie: Zwei Fragen rund um Geraden

Zitat:

Original von Faelivrin
Danach hab 3 Teilbetrachtungen untersucht: Für $\begin{eqnarray*} x \in \overline{pq} \end{eqnarray*}$ habe ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht links oder rechts von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ liegt sondern genau dazwischen, analog für $\begin{eqnarray*} x \in \overline{qr} \end{eqnarray*}$ Danach hab ich gezeigt, dass zwischen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x=q \end{eqnarray*}$ liegt.

Reicht das aus, um den Sachverhalt zu zeigen?

Nein, so ist das nicht korrekt

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