Unbestimmtes Integral lösen

20.10.2007, 18:23

gerhard

Unbestimmtes Integral lösen

Hallo!
ich komme einfach nicht weiter
$\begin{eqnarray*} \int{(x^2 + 1) e^{-2x}dx} \end{eqnarray*}$

hat jemand von euch einen lösungsansatz!
Ich habe es mit partieller integration bzw./und substitution versucht, komme jedoch nicht auf eine lösung!
vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen!

lg gerhard

20.10.2007, 18:25

klarsoweit

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RE: Unbestimmtes Integral lösen
Partielle Integration ist durchaus die richtige Methode. Wie bist du vorgegangen?

20.10.2007, 18:49

Gerhard

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Hab mal folgendes angenommen

$\begin{eqnarray*} \int{(x^2 + 1) e^{-2x}dx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-2x} f(x) = \frac{-1}{2}e^{-2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = (x^2 + 1) g'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
dann hab ich das mal probiert mit partieller integration
$\begin{eqnarray*} \int{(x^2 + 1) e^{-2x}dx} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1)-\int{\frac{-1}{2}e^{-2x}*2x}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1)+\int{e^{-2x}*x}dx \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich das gleiche problem wieder, das e^... wird mir wohl nie wegfallen was mach ich da jetzt weiter!

vielen dank für die schnelle hilfe!

lg gerhard

20.10.2007, 18:53

Tomtomtomtom

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Nochmal partiell integrieren. Der Grad des "hässlichen" Faktors x^2+1 hat sich ja schon um eins verringert, noch einmal dieselbe Methode und du bist ihn los.

20.10.2007, 19:07

Gerhard

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ajaa stimmt wohl!

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1)+\int{e^{-2x}*x}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^{-2x} f(x) = \frac{-1}{2}e^{-2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = x g'(x) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) + \frac{-1}{2}e^{-2x}*x - \frac{-1}{2}*\int{e^{-2x}*x}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) + \frac{-1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*\int{e^{-2x}}dx \end{eqnarray*}$
jetzt das integral auflösen
$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) + \frac{-1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

stimmt das so (ich weiß rausheben kann man noch einiges)?
wenn ja dann war das ja mal um einiges leichter als ich mir gedacht hab!

vielen dank für die hilfe
lg gerhard

20.10.2007, 19:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gerhard
jetzt das integral auflösen
$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) + \frac{-1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Da scheint aber mit dem Integral was schief gegangen zu sein. Zur Probe kannst du auch mal deine Stammfunkton ableiten.

20.10.2007, 19:22

gerhard

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ich finde den fehler mal nicht!
wo sollte der sein?
vom vorigen integral hab ich ja folgendes gehabt:
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1)+\int{e^{-2x}*x}dx \end{eqnarray*}$

also bleibt der vordere teil mal und ich bearbeite das integral
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1)+... \end{eqnarray*}$

durch die partielle integration hab ich weiters
$\begin{eqnarray*} ...\frac{-1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*\int{e^{-2x}}dx \end{eqnarray*}$
jetzt lös ich noch das integral auf
$\begin{eqnarray*} ... + \frac{1}{2}*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

zusammengefasst dann
$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) - \frac{1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

wo kann der fehler da liegen?

danke und lg gerhard

20.10.2007, 19:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von gerhard
durch die partielle integration hab ich weiters
$\begin{eqnarray*} ...\frac{-1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*\int{e^{-2x}}dx \end{eqnarray*}$
jetzt lös ich noch das integral auf
$\begin{eqnarray*} ... + \frac{1}{2}*e^{-2x} \end{eqnarray*}$

Genau beim Auflösen des letzten Integrals. Augenzwinkern

20.10.2007, 20:04

gerhard

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ahh stimmt!

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) - \frac{1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*e^{-2x}*\frac{-2x²}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) - \frac{1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*e^{-2x}*(-x^2) \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt endlich?
tut leid das ich grad so auf der leitung steh, der tag ist schon lang!

meiner meinung nach hab ich irgendwo noch einen fehler! weil wenn ich die lösung dann wiederum differenziere komm ich irgendwie nicht auf den ausgangsterm!

lg jacko

20.10.2007, 23:00

klarsoweit

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Ich weiß jetzt beim besten Willen nicht, was du gerechnet hast.

Du mußt doch bei $\begin{eqnarray*} \int{e^{-2x}}dx \end{eqnarray*}$ "nur" eine Stammfunktion für $\begin{eqnarray*} e^{-2x} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Das hast du doch schon 2-mal gemacht. Also wird es doch auch ein 3. mal gelingen, oder?

21.10.2007, 11:06

gerhard

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danke vielmals für die hilfe!
das kommt wohl davon, wenn man zu müde zum denken ist!
sorry und vielen dank für den denkanstoß!

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) - \frac{1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*\int{e^{-2x}dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) - \frac{1}{2}e^{-2x}*x + \frac{1}{2}*\frac{-1}{2} * e^{-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * (x^2 + 1) - \frac{1}{2}e^{-2x}*x - \frac{1}{4} * e^{-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-1}{2}e^{-2x} * [(x^2 + 1) +x + \frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$

ich muss trotzdem nochmal nachfragen ob das jetzt so korrekt ist? mir kommts leider nicht so vor!

lg gerhard

21.10.2007, 11:53

klarsoweit

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Ist richtig. Du kannst es ja auch mal ableiten. Und die Klammer kannst du noch etwas zusammenfassen.

21.10.2007, 13:01

gerhard

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das ist ja mein problem! wenn ich ableite dann komme ich nicht wieder auf die form
$\begin{eqnarray*} (x^2 + 1) e^{-2x} \end{eqnarray*}$ was ja eig. das ziel sein sollte!

gibts da noch anregungen?

vielen dank lg
gerhard

21.10.2007, 13:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von gerhard
gibts da noch anregungen?

Ja. Schreibe deine Rechnung hier rein und wir werden sehen, wo es hängt. Augenzwinkern

21.10.2007, 13:30

gerhard

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ich hab den fehler mittlerweile gefunden!
vielen dank für diese langwierige hilfe! Respekt