Gebrochen rationale Scharfunktionen

20.10.2007, 18:34

Emerald

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Gebrochen rationale Scharfunktionen

Hi erstmal....
Ich habe ziemlich viele Stunden im Matheunterricht versäumt , nun vverlangt mein Lehrer von mir alles selbstständig nachzuholen , klappte bis jetzt auch prima . Doch nun bin ich bei den gebrochen rationale Scharfunktionen angekommen und weiß nicht mehr weiter. Wäre nett wenn mir einer bei dieser Aufgabe hier helfen würde.... Ich verlange nicht , dass man mir die Aufgabe löst , sondern dass man mir hilft selbstständig damit klar zu kommen . Ich werde meine Ergebnisse dann hier reinstellen und sie euch zur Kritik über lassen . Wäre echt nett von euch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es handelt sich um folgende Aufgabe . Ich soll von folgender Funktion eine Kurvendiskussion erstellen :

fa(x)= 2x
_____
(x²+a)²

20.10.2007, 18:36

tigerbine

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LG,
tigerbine
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$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{2x}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]f_a(x)=\frac{2x}{(x^2+a)^2}[/latex]

Was würdest Du nun als erstes bestimmen?

20.10.2007, 20:14

Emerald

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Hi erstmal....
Ich habe ziemlich viele Stunden im Matheunterricht versäumt , nun verlangt mein Lehrer von mir alles selbstständig nachzuholen , klappte bis jetzt auch prima . Doch nun bin ich bei den gebrochen rationale Scharfunktionen angekommen und weiß nicht mehr weiter. Wäre nett wenn mir einer bei dieser Aufgabe hier helfen würdet.... Ich verlange nicht , dass man mir die Aufgabe löst , sondern dass man mir hilft selbstständig damit klar zu kommen . Ich werde meine Ergebnisse dann hier reinstellen und sie euch zur Kritik über lassen . Wäre echt nett von euch

Es handelt sich um folgende Aufgabe . Ich soll von folgender Funktion eine Kurvendiskussion erstellen :

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{2x}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

20.10.2007, 20:20

tigerbine

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Das habe ich auch vorhin schon gesehen. Ich wollte ja nur wissen, was Du als erstes machen würdest. Mehr nicht. unglücklich

unglücklich

Funktionsdiskussion ist ja das arbeiten einer Liste. Ich wollte wissen, ob Du weißt, welche Punkte drauf stehen. Das wiki dazu tippe ich aber nicht ab.

20.10.2007, 21:19

hxh

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wir helfen dir gerne, schreib doch mal was du schon alles rausbekommen hast und Probleme und Fragen können wir dann klären

20.10.2007, 21:22

Emerald

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Aso sorry hab das da unten überlesen . Wir sollen folgende Liste abarbeiten.

Definitionsbereich
Nullstellen
Symmetrie
Verhalten am Rand
Extremstellen

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20.10.2007, 21:25

tigerbine

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Definitionsbereich
WAS kann bei Brüchen immer mal Kritisch werden?

WORAUS darf man a auswählen?

21.10.2007, 14:34

Emerald

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Definitionsbereich
Ich fang einfach mal an...

Definitionsbereich:
Ich habe es bis jetzt so verstanden , dass ich die Nullstellen des Nenners berechnen muss um den Definitionsbereich festzulegen .

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{2x}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

Brechnung der Nullstellen des Nenners:

$\begin{eqnarray*} (x²+a)²=0 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x^4+2x²a+a²=0 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x²(x²+2a+a²)=0 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} x²+2a+a²=0 \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} x=-\frac{p}{2} \frac{+}{-}\sqrt{ (\frac{p}{2})²-q} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} x=-\frac{2a}{2} \frac{+}{-}\sqrt{ (\frac{2a}{2})²-a²} \end{eqnarray*}$

<=> $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} -a\frac{+}{-}\sqrt{(a²-a²)} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ v $\begin{eqnarray*} x=-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Df=\mathbb R (0;-a) \end{eqnarray*}$

stimmts so ??

21.10.2007, 14:47

tigerbine

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RE: Definitionsbereich
Dieser Ansatz ist richtig:

$\begin{eqnarray*} (x²+a)²=0 \end{eqnarray*}$

Dann wird es zu kompliziert (und auch falsch). Wegen dem Quadrat wird der Nenner genau dann 0, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} x² + a = 0 \end{eqnarray*}$

Nun ist auch x² immer nicht negativ (da x aus den reellen Zahlen stammt), somit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x² = -a \end{eqnarray*}$

D.h. für alle nicht negativen a haben wir keine Probleme. Gilt aber $\begin{eqnarray*} a \leq 0 \end{eqnarray*}$ , dann dürfen wir für x

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{|a|} \end{eqnarray*}$

nicht einsetzen.

Ein paar Beispiele:

$\begin{eqnarray*} a=4 \Rightarrow x² + 4 > 0 \text{ für alle }x \in \mathbb R \Rightarrow D_{f_a} = \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=0 \Rightarrow x² > 0 \text{ für alle }x \in \mathbb R\setminus \{0\} \Rightarrow D_{f_a} = \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=-4 \Rightarrow x² - 4 = 0 \text{ für }x = \pm 2 \Rightarrow D_{f_a} = \mathbb R\setminus \{-2, 2\} \end{eqnarray*}$

21.10.2007, 14:58

Emerald

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Definitionsbereich
Hmm.... Da hab ich mich ja mal wieder total vertan Hammer

Hammer

Wie sieht denn nun den der nächste Schritt aus ?

21.10.2007, 14:59

tigerbine

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RE: Definitionsbereich
Gehen wir halt nach deiner Liste, also Nullstellen.

21.10.2007, 15:07

Emerald

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Nullstellen
Nullstellen des Zählers :

$\begin{eqnarray*} 2x=0 \end{eqnarray*}$ | : 2
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

Nullstellen des Nenners :

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt {-a²} \end{eqnarray*}$
Man darf ja aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen.......

Hat man dann :

L = {} ?

21.10.2007, 15:19

tigerbine

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RE: Nullstellen
Wir haben nun aus der Untersuchung des Nenners 2 Fäller erhalten

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = \begin{cases} \frac{2x}{(x^2+a)^2} & a \leq 0 \quad \Rightarrow D_{f_a} = \mathbb R \setminus\{-|a|,+|a|\} \\ \frac{2x}{(x^2+a)^2} & 0 < a \quad \Rightarrow D_{f_a} = \mathbb R \end{cases} \end{eqnarray*}$

Eine GBR-Funktion hat ihre Nullstellen dort, wo der Zähler 0 wird. Also hier bei

$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Ist dieses x aber auch in der Definitionsmenge?

21.10.2007, 15:32

Emerald

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RE: Nullstellen

Zitat:

Ist dieses x aber auch in der Definitionsmenge?

Nein .. oder ??

Sorry , aber jetzt kommt die Stelle an der ich nicht mehr weiter wusste . Ich brauch einfach einmal so ein Kurvendiskussion vorgerechnet , damit ich es nachvollziehen kann . Danach rechne ich dann immer noch einmal für mich eine weiter Aufgabe , so dass ich alles verstehe . Ich hab im Internet nach einer kompletten Kurvendiskussion gesucht aber nix gefunden ,dann bin ich auf dieses Forum hier gestoßen und habe auch sehr freundlich Hilfe bekommen , aber nun komme ich in dieser Rechnung nicht weiter , weil ichs nicht gemacht habe .

21.10.2007, 15:35

tigerbine

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RE: Nullstellen
Aber komplett lösen werde ich Dir die Aufgabe nicht. Warum habe ich wohl die beiden Fällen hingeschrieben und obige Beispiele?

Ob x in der Definitionsmenge ist, hängt wohl von a ab, oder ?

21.10.2007, 15:40

Emerald

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Ja stimmt...

Zitat:

Ein paar Beispiele:

$\begin{eqnarray*} a=4 \Rightarrow x² + 4 > 0 \text{ für alle }x \in \mathbb R \Rightarrow D_{f_a} = \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=0 \Rightarrow x² > 0 \text{ für alle }x \in \mathbb R\setminus \{0\} \Rightarrow D_{f_a} = \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=-4 \Rightarrow x² - 4 = 0 \text{ für }x = \pm 2 \Rightarrow D_{f_a} = \mathbb R\setminus \{-2, 2\} \end{eqnarray*}$

21.10.2007, 15:40

tigerbine

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Also, wann hat die Funktionenschar Nullstellen?

21.10.2007, 15:44

Emerald

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Wenn...
$\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

ist , wobei man bei a=0 , x=0 als Nullstelle erhält .

21.10.2007, 15:48

tigerbine

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unglücklich

Schau doch einmal die Definitionsmengen an. Für a= 0 ....

21.10.2007, 15:59

Emerald

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Zitat:

Original von tigerbine
unglücklich

unglücklich

Schau doch einmal die Definitionsmengen an. Für a= 0 ....

Also hat die Funktionschar nur für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ , Nullstellen .

Mathe ist nix für mich ... unglücklich

unglücklich

Ich frag mich warum so etwas im Mathegrundkurs Unterrichtsthema ist....

21.10.2007, 16:04

tigerbine

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unglücklich

Keine Grundsatzdiskussionen über Mathe bitte.

Wir bekommen doch eindeutig nur dann keine Nullstelle, wenn der Scharparameter a=0 vorliegt. Denn nur dann ist x=0 nicht in der Definitionsmenge.

Nächster Punkt: Symmetrie

Welche kennst Du denn?

Punktsymmetrie

Achsensymmetrie

21.10.2007, 18:57

Emerald

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Symmetrie
$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{2x}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

Zähler und Nenner sind von gleicher Symmetrieart....
Daraus folgt , dass die Funktionsscharr achsensymmetrisch ist .

Erstaunt2

Erstaunt2

21.10.2007, 18:59

tigerbine

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RE: Symmetrie

Zitat:

Original von Emerald
$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{2x}{(x^2+a)^2} \end{eqnarray*}$

Zähler und Nenner sind von gleicher Symmetrieart....
Daraus folgt , dass die Funktionsscharr achsensymmetrisch ist .

Erstaunt2

Der Zähler ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Nenner ist achsensymmettrisch zur y-Achse.

21.10.2007, 19:08

Emerald

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OOOOOOOOOOOH mann sry..hatte auf eine andere Funktion geguckt.

Natürlich ist der Zähler punktsymmetrisch

$\begin{eqnarray*} 2x^1 \end{eqnarray*}$

ungerader exponent also punktsymm.

21.10.2007, 19:09

tigerbine

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Wie sieht es aber nun mit der Funktion aus?

21.10.2007, 22:57

Emerald

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Die Funktion ist punktsymmetrisch.

21.10.2007, 23:03

tigerbine

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Ach ja?
Dann sollte man das auch einmal begründen:

$\begin{eqnarray*} f_a(-x)=\frac{2 \cdot (-x)}{((-x)^2+a)^2} = - \frac{2x}{(x^2+a)^2} = -f_a(x) \end{eqnarray*}$

nächster Punkt: Verhalten am Rand, d.h. gegen unendlich und Definitionslücken

22.10.2007, 11:24

Emerald

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Bevor wir weitermachen hab ich da noch eine Frage... und zwar :
Wie kommst du von
$\begin{eqnarray*} ((-x)²+a)² \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} x²+a \end{eqnarray*}$

.......
ich würde da auf $\begin{eqnarray*} x^4+2x²a+a² \end{eqnarray*}$ kommen

verwirrt

verwirrt

22.10.2007, 19:24

tigerbine

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Ich habe die Klammer vergessen. Tschuldigung Augenzwinkern

Augenzwinkern

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