Ungleichung zeigen

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20.10.2007, 18:27	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
ungleichung? Hallo, ich hab auch eine ähnliche Aufgabe, nur mit $\begin{eqnarray} (1+ \frac{1}{n-1})^{n-1} < (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray}$ aber ich versteh schon nicht, wie man auf die Ungleichung kommt. Kann mir jemand helfen? Ich bin für jede Hilfe dankbar.
20.10.2007, 18:45	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ungleichung? Vorab: für neue Fragen ist es besser einen neuen Thread aufzumachen als sich an einen älteren Thread dranzuhängen. Jetzt zur Frage: du willst eigentlich zeigen, daß die Folge $\begin{eqnarray} a_n := \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ monoton steigt. Dazu betrachten wir: $\begin{eqnarray} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{n+1}{n} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n-1} \cdot \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1} = \frac{n+1}{n} \cdot \left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n^2}{n^2-1} \cdot \left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n = \frac{n}{n-1} \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du mit der Bernoullischen Ungleichung abschätzen.
21.10.2007, 11:03	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für die Hilfe!! Gestern hab ich das nachvollzogen, was du geschrieben hast.. find es immer ein wenig kompliziert, wenn schritte weggelassen werden - aber das schult ja Danach hab ich dann versucht, die Ungleichung anzuwenden, aber es leider nicht geschafft.. ich setz mich jetzt noch mal dran. Muss ich denn die Lösung die ich habe > 1 setzen und damit weiterrechnen, oder irre ich mich da jetzt? LG Luci
21.10.2007, 12:01	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ungleichung? Du mußt nicht die Lösung > 1 setzen, sondern zeigen, daß diese immer > 1 ist. Und so geht die Anwendung der Bernoullischen Ungleichung: $\begin{eqnarray} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n > 1 + n \cdot \frac{-1}{n^2} = 1 - \frac 1 n \end{eqnarray}$
21.10.2007, 13:46	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
hm.. das hatte ich auch schon, war mir aber nicht sicher, dass es geht, weil mit n=1 geht das ja schon nicht! mit allen n>1 wahrscheinlich schon (zumindest mit n=2/3 aber bei n=1 kommt daraus 1-1>1-1 und das stimmt ja so nicht ganz. Als nächsten Schritt würde ich das dann auseinander ziehen (1-\frac{1}{n^2})*(1-\frac{1}{n^2})^{n-1}>1-\frac{1}{n} (oder muss ich dann erst n durch n+1 ersetzen?) und dann müsste man doch nach Bernoulli irgenwas einsetzen.. soll ich dann \frac{1}{n^2} = a setzen (1-a)(1-a)^{n-1}>1-\frac{1}{n} ??
21.10.2007, 13:49	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Und noch mal richtig: ^^' hm.. das hatte ich auch schon, war mir aber nicht sicher, dass es geht, weil mit n=1 geht das ja schon nicht! mit allen n>1 wahrscheinlich schon (zumindest mit n=2/3 aber bei n=1 kommt daraus 1-1>1-1 und das stimmt ja so nicht ganz. Als nächsten Schritt würde ich das dann auseinander ziehen (1-\frac{1}{n^2})*(1-\frac{1}{n^2})^{n-1}>1-\frac{1}{n} (oder muss ich dann erst n durch n+1 ersetzen?) und dann müsste man doch nach Bernoulli irgenwas einsetzen.. soll ich dann \frac{1}{n^2} = a setzen (1-a)(1-a)^{n-1}>1-\frac{1}{n} ??
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21.10.2007, 13:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ungleichung? Du sprichst in Rätseln. Also wir waren bei $\begin{eqnarray} \frac{n}{n-1} \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n \end{eqnarray}$ und jetzt wird auf $\begin{eqnarray} \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n \end{eqnarray}$ mit a = -1/n² die Bernoullische Ungleichung angewendet. Ich verstehe jetzt einfach deine Nachfragen nicht.
21.10.2007, 16:00	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab also dann: (1+a)^{n+1} = (1+a)^n (1+a) > (1-\frac{1}{n})(1+a) =1+a-\frac{1}{n}a ? Soll ich als nächstes wieder a gegen -1/n^2 eintauschen? Oder erst mal damit weiterrechnen. Ich hab das Gefühl, dass ich mit beidem nicht wirklich weiter komme.
21.10.2007, 16:07	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab also dann: $\begin{eqnarray} (1+a)^{n+1} = (1+a)^n (1+a) > (1-\frac{1}{n})(1+a)<br /> =1+a-\frac{1}{n}a \end{eqnarray}$ ? Soll ich als nächstes wieder a gegen $\begin{eqnarray} -1/n^2 \end{eqnarray}$ eintauschen? Oder erst mal damit weiterrechnen. Ich hab das Gefühl, dass ich mit beidem nicht wirklich weiter komme.
21.10.2007, 16:10	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid.. hab mich irgendwie verschrieben, aber ich kann die Beiträge nicht mehr löschen.. ich hab also dann: $\begin{eqnarray} (1+a)^{n+1} = (1+a)^n (1+a) > (1-\frac{1}{n})(1+a)=1+a-\frac{1}{n}-\frac{1}{n}a \end{eqnarray}$ ? Soll ich als nächstes wieder a gegen $\begin{eqnarray} -1/n^ \end{eqnarray}$ eintauschen? Oder erst mal damit weiterrechnen. Ich hab das Gefühl, dass ich mit beidem nicht wirklich weiter komme.
21.10.2007, 16:27	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt $\begin{eqnarray} 1-\frac{1-n}{n^2} \end{eqnarray}$ ist das noch richtig? und wie gehts dann weiter? am verzweifeln ist
21.10.2007, 16:45	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ich hab jetzt grad verstanden, dass ich einfach das = Bernoulli setzen muss und es nicht erst beweisen muss. Aber danke für die viele Mühe!!!
21.10.2007, 16:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe, daß du das verstanden hast. Ich bin mir aber ehrlich gesagt nicht so ganz sicher.
21.10.2007, 17:42	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, doch ich dachte die ganze Zeit nur, dass ich was viel komplizierteres machen müsste.

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