Ungleichung - Benötige einen Tipp

21.10.2007, 12:45

gast0

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Ungleichung - Benötige einen Tipp

Hallo!

Ich komme mit folgender Ungleichung überhaupt nicht zurecht. Könnte mir jemand wohl ein (paar) Tipp(s) geben? Diese Betragsstriche irriteren mich ziemlich

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{\vert x - 2 \vert} > \frac {1} {1+\vert x-1\vert} \end{eqnarray*}$

21.10.2007, 12:47

tigerbine

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RE: Ungleichung - Benötige einen Tipp
Boardsuche. Betrag. Fallunterscheidungen machen.

21.10.2007, 12:47

Yoshee

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Was würdest du denn machen, wären da keine Betragsstriche?
und dann überleg dir, was es bedeutet, wenn etwas in einem betrag steht
€dit. oder so wie biene sagt...

21.10.2007, 12:53

gast0

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Zitat:

Original von Yoshee
Was würdest du denn machen, wären da keine Betragsstriche?
und dann überleg dir, was es bedeutet, wenn etwas in einem betrag steht
€dit. oder so wie biene sagt...

Würde ich die auf der rechten Seite im Nenner nur noch x haben und den rechten Bruch per Subtraktion auf die Linke Seite setzen und weiterrechnen?

Sind Betragsstriche eigentlich wie Klammern von den "Rechenregeln" her?

P.S.: Beide Nenner können nur positiv sein

21.10.2007, 12:55

Yoshee

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Genau! Beide nenner können nur positv sein, von daher kannst du doch einfach mit ihnen multiplizieren. Was hast du dann stehen?

21.10.2007, 13:03

gast0

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Zitat:

Original von Yoshee
Genau! Beide nenner können nur positv sein, von daher kannst du doch einfach mit ihnen multiplizieren. Was hast du dann stehen?

Also erstmal wie folgt umgeformt.

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {\vert x-2 \vert} - \frac {1} {1+\vert x-1 \vert} > 0 \end{eqnarray*}$

Nun müsste ich die Brüche "über Kreuz" multiplizieren um sie subtrahieren zu können.

$\begin{eqnarray*} \frac {1+ \vert x-1 \vert} {(\vert x-2 \vert) \cdot (1+ \vert x-1 \vert)} - \frac {\vert x-2 \vert} {(\vert x-2 \vert) \cdot (1+ \vert x-1 \vert)}>0 \end{eqnarray*}$

Un jetzt weiß ich nicht wie ich die Beträge im Nenner ausmultipliziere wegen der Betragsstriche.

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22.10.2007, 10:03

gast0

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Könnte mir jemand wohl noch einen Tipp geben?

22.10.2007, 10:19

mYthos

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Vielleicht könntest du doch tigerbine's Hinweisen nachgehen?
Diese Art von Ungleichungen wurde schon oft hier behandelt.

Hinweise:

Auf 0 bringen ist nicht der Weisheit letzter Schluss. Das Überkreuz-Multiplizieren wäre schon am Anfang möglich gewesen.

Zuerst Fallunterscheidungen einführen, damit man dann nach entsprechender Umformung die Betragszeichen weglassen kann ...

mY+

22.10.2007, 10:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast0
Un jetzt weiß ich nicht wie ich die Beträge im Nenner ausmultipliziere wegen der Betragsstriche.

Das ist auch nicht nötig. Multipliziere einfach mit dem Nenner, dann bist du ihn los. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2007, 10:36

gast0

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Also wenn ich jetzt mit dem Nenner multipliziere erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 1+ \vert x-1 \vert - \vert x-2 \vert > 0 \end{eqnarray*}$

Ich komme wirklich gar nicht weiter und auch die Suche nach Fallunterscheidung/Ungleichung macht mir die Sache nicht klarer.

22.10.2007, 10:42

klarsoweit

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Was hast du denn bei deiner Suche bislang festgestellt? Irgendwie mußt du ja die Betragsstriche wegbekommen. Dazu kannst du gewisse Fälle unterscheiden.

22.10.2007, 11:02

gast0

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Zitat:

Original von klarsoweit
Was hast du denn bei deiner Suche bislang festgestellt? Irgendwie mußt du ja die Betragsstriche wegbekommen. Dazu kannst du gewisse Fälle unterscheiden.

Ja. Nur das ist mein Problem. Ich steige nich ganz hinter die Fallunterscheidung und zusätzlich irriteren mich diese Betragsstriche.

Ich forme einfach noch einmal um damit ein ähnliches Beispiel wie z.B. hier
entsteht

$\begin{eqnarray*} 1+ \vert x-1 \vert > \vert x-2 \vert \end{eqnarray*}$

Dann nehme ich den Fall $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt: $\begin{eqnarray*} 1+ (x-1) \end{eqnarray*}$ ist immer negativ also < 0 und x ist gleich dem eingesetzem Wert
$\begin{eqnarray*} x-2 \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls immer negativ

Allerdings ist die Ungleichung dann nicht mehr wahr solange $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x <= -2 \end{eqnarray*}$ . Kann

Der Fall $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist wahr. Es steht dann $\begin{eqnarray*} 0 > -2 \end{eqnarray*}$

Der Fall $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ ist immer positiv und es gilt wie oben. Die ungleichung ist nur wahr für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x >= 2 \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit korrekt?

22.10.2007, 11:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast0
Dann nehme ich den Fall $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt: $\begin{eqnarray*} 1+ (x-1) \end{eqnarray*}$ ist immer negativ also < 0 und x ist gleich dem eingesetzem Wert

Das ist irgendwie etwas daneben. Zunächst mal kommt es auf das Vorzeichen der Terme innerhalb der Betragsstriche an. Wann sind die jeweils positiv bzw. negativ. Entsprechend mußt du die Fälle wählen.

22.10.2007, 11:45

gast0

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist irgendwie etwas daneben. Zunächst mal kommt es auf das Vorzeichen der Terme innerhalb der Betragsstriche an. Wann sind die jeweils positiv bzw. negativ. Entsprechend mußt du die Fälle wählen.

Wie mache ich denn dann hier eine Fallunterscheidung?

22.10.2007, 12:04

mYthos

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|a - b| = a - b wenn $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$
|a - b| = b - a wenn a < b

mY+

22.10.2007, 13:03

gast0

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Danke für eure Bemühungen aber ich steige da einfach nicht hinter.

22.10.2007, 13:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von mYthos
|a - b| = a - b wenn $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$
|a - b| = b - a wenn a < b

@gast0: schau dir diesen Beitrag an und den Term |x - 1| aus der Aufgabe an. Was könnte für a, was für b stehen? Welche Unterscheidungen muß man also machen?

Also ehrlich. Ich weiß wirklich nicht, wie man das noch deutlicher schreiben soll, ohne daß man gleich die Lösung hinschreibt. verwirrt

verwirrt

22.10.2007, 13:31

gast0

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Also muss ich nur für den Betrag eine FU machen. Gut.

Das heißt also
|x-1| = x - 1 falls x >= -1
|x-1| = 1 - x falls x < 1

Bei |x-2|
|x-2| = x - 2 falls x >= -2
|x-2| = 2 - x falls x < 2

Der Nutzwert für meine Ungleichung erschließt sich mir aber nicht.

22.10.2007, 13:42

klarsoweit

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Es ist erstaunlich, wie beim Übertragen einer allgemeinen Formel auf einen speziellen Fall noch Fehler eingebaut werden: Richtig ist:
|x-1| = x - 1 falls x >= 1
und
|x-2| = x - 2 falls x >= 2

Jetzt mußt du die 2 Fälle für |x - 1| mit jedem Fall von |x - 2| kombinieren. In jedem Fall kannst du jeweils die Betragsausdrücke durch die entsprechenden Ausdrücke ohne Betragsstriche ersetzen.

Tipp für die FU: es gibt auch einen Fall, wo nichts zu rechnen ist, weil die Fallunterscheidungsbedingungen sich widersprechen.

22.10.2007, 13:49

gast0

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Zitat:

Original von klarsoweit
Es ist erstaunlich, wie beim Übertragen einer allgemeinen Formel auf einen speziellen Fall noch Fehler eingebaut werden:

Oh mann. Danke. Liegt wohl an der puren Verzeiflung. Freude

Freude

Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt mußt du die 2 Fälle für |x - 1| mit jedem Fall von |x - 2| kombinieren. In jedem Fall kannst du jeweils die Betragsausdrücke durch die entsprechenden Ausdrücke ohne Betragsstriche ersetzen.

Tipp für die FU: es gibt auch einen Fall, wo nichts zu rechnen ist, weil die Fallunterscheidungsbedingungen sich widersprechen.

Also gehe ich so weiter vor:
x-1 < x-2
1-x < 2-x ...

22.10.2007, 13:57

klarsoweit

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Also ehrlich, ich weiß beim besten Willen nicht, was du denkst bzw. rechnest. unglücklich

unglücklich

Also fassen wir mal zusammen. Wir haben:

Fall 1a: |x-1| = x - 1 falls x >= 1
Fall 1b: |x-1| = 1 - x falls x < 1

Fall 2a: |x-2| = x - 2 falls x >= 2
Fall 2b: |x-2| = 2 - x falls x < 2

Jetzt kombinieren wir Fall 1a mit Fall 2a:
Wir betrachten also x >= 1 und x >= 2.
Hier ist also |x-1| = x - 1 und |x-2| = x - 2

Damit kannst du die Betragsausdrücke in $\begin{eqnarray*} 1+ \vert x-1 \vert - \vert x-2 \vert > 0 \end{eqnarray*}$ ersetzen.

22.10.2007, 14:11

gast0

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Zitat:

Original von klarsoweit
Also ehrlich, ich weiß beim besten Willen nicht, was du denkst bzw. rechnest. unglücklich

unglücklich

Danke für die elegante Beschreibung meiner Begriffsstutzigkeit.[/quote]

Zitat:

Original von klarsoweitAlso fassen wir mal zusammen. Wir haben:

Fall 1a: |x-1| = x - 1 falls x >= 1
Fall 1b: |x-1| = 1 - x falls x < 1

Fall 2a: |x-2| = x - 2 falls x >= 2
Fall 2b: |x-2| = 2 - x falls x < 2

Jetzt kombinieren wir Fall 1a mit Fall 2a:
Wir betrachten also x >= 1 und x >= 2.
Hier ist also |x-1| = x - 1 und |x-2| = x - 2

Damit kannst du die Betragsausdrücke in $\begin{eqnarray*} 1+ \vert x-1 \vert - \vert x-2 \vert > 0 \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Gut, dann erhalte ich folgende Gleichung: $\begin{eqnarray*} 1+ x-1 - x-2 >0 \end{eqnarray*}$ Das ist aber Unsinn.

Das ergibt aber doch: $\begin{eqnarray*} -2 > 0 \end{eqnarray*}$

22.10.2007, 14:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast0
Gut, dann erhalte ich folgende Gleichung: $\begin{eqnarray*} 1+ x-1 - x-2 >0 \end{eqnarray*}$ Das ist aber Unsinn.

Vielleicht wäre es besser gewesen, die Betragsausdrücke durch Klammerausdrücke zu ersetzen. Dann rechnet sich das anders:

$\begin{eqnarray*} 1+ (x-1) - (x-2) >0 \end{eqnarray*}$

22.10.2007, 15:11

gast0

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Zitat:

Original von klarsoweit

$\begin{eqnarray*} 1+ (x-1) - (x-2) >0 \end{eqnarray*}$

Also 2 > 0

Fall 1b mit 2b:
$\begin{eqnarray*} 1+ (1-x) - (2-x)>0 \end{eqnarray*}$

Das wäre x < 0

22.10.2007, 15:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast0
Das wäre x < 0

Wie kommst du darauf?

Denke auch an die Fälle 1a mit 2b und 1b mit 2a. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.10.2007, 16:06

gast0

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Fall 1a und 2a liefert: $\begin{eqnarray*} 2 > 0 \end{eqnarray*}$

Fall 1b und 2b liefert: $\begin{eqnarray*} 0>0 \end{eqnarray*}$

Fall 1a und 2b liefert: $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Fall 1b und 2a liefert: $\begin{eqnarray*} x > \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$

Wie genau kann ich das denn jetzt interpretieren?

22.10.2007, 16:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast0
Fall 1a und 2a liefert: $\begin{eqnarray*} 2 > 0 \end{eqnarray*}$

Ist eine immer gültige Aussage. Hier wird die Lösung nur eingeschränkt durch die Fallbedingungen.

Zitat:

Original von gast0
Fall 1b und 2b liefert: $\begin{eqnarray*} 0>0 \end{eqnarray*}$

Ist eine immer falsche Aussage. ==> keine Lösung in diesem Fall.

Zitat:

Original von gast0
Fall 1a und 2b liefert: $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Diese Lösung wird noch eingeschränkt von den Fallbedingungen.

Zitat:

Original von gast0
Fall 1b und 2a liefert: $\begin{eqnarray*} x > \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$

Falsch gerechnet. Auch hier wird die Lösung eingeschränkt von den Fallbedingungen.

22.10.2007, 16:26

gast0

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von gast0
Fall 1a und 2a liefert: $\begin{eqnarray*} 2 > 0 \end{eqnarray*}$

Ist eine immer gültige Aussage. Hier wird die Lösung nur eingeschränkt durch die Fallbedingungen.

Hmm. Das verstehe ich nicht ganz was das heißt. Je nach dem wie groß x ist?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von gast0
Fall 1b und 2b liefert: $\begin{eqnarray*} 0>0 \end{eqnarray*}$

Ist eine immer falsche Aussage. ==> keine Lösung in diesem Fall.

Genau.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von gast0
Fall 1a und 2b liefert: $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Diese Lösung wird noch eingeschränkt von den Fallbedingungen.

s.o.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von gast0
Fall 1b und 2a liefert: $\begin{eqnarray*} x > \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$

Falsch gerechnet. Auch hier wird die Lösung eingeschränkt von den Fallbedingungen.

Ja, genau anders herum. $\begin{eqnarray*} x < \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$

22.10.2007, 16:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast0
Hmm. Das verstehe ich nicht ganz was das heißt. Je nach dem wie groß x ist?

Welche Fallbedingungen hatten wir denn für Fall 1a und 2a?

Zitat:

Original von gast0
Ja, genau anders herum. $\begin{eqnarray*} x < \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$

Nach meiner Rechnung kommt x < 2 raus.

22.10.2007, 16:51

gast0

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von gast0
Hmm. Das verstehe ich nicht ganz was das heißt. Je nach dem wie groß x ist?

Welche Fallbedingungen hatten wir denn für Fall 1a und 2a?

x >= 1 und x >= 2. Zieht man das zusammen? Es kann dann ja nur x >= 2 sein.

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von gast0
Ja, genau anders herum. $\begin{eqnarray*} x < \frac {3}{2} \end{eqnarray*}$

Nach meiner Rechnung kommt x < 2 raus.

Ja stimmt. Denn 1+ (1) ist 2 und nicht 1. *grr*

22.10.2007, 17:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast0
x >= 1 und x >= 2. Zieht man das zusammen? Es kann dann ja nur x >= 2 sein.

Sehr gut.

Freude

Dieser Fall wäre also abgeschlossen. Jetzt noch die 2 anderen. (Einer fiel wegen der "Lösung" 0 < 0 ja schon raus.)

22.10.2007, 17:11

gast0

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von gast0
x >= 1 und x >= 2. Zieht man das zusammen? Es kann dann ja nur x >= 2 sein.

Sehr gut.

Freude

Dieser Fall wäre also abgeschlossen. Jetzt noch die 2 anderen. (Einer fiel wegen der "Lösung" 0 < 0 ja schon raus.)

Vielen Dank für die Blumen. smile

smile

Aus 1a und 2b müsste folgen: x>=1 oder x < 2

Aus 1b und 2a müsste folgen x>=2 oder x<1

Falls das richtig ist. Wie ist die korrekte Schreibweise der Lösungsmenge, da x<1 eigentlich doch entfällt und x>=1 auch schon ausgeschlossen wurde.

L = { x € R | x>= 2 oder x < 2}

22.10.2007, 19:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von gast0
Aus 1a und 2b müsste folgen: x>=1 oder x < 2

Die Fallbedingung lautet: x>=1 und x < 2
Die Lösung der Ungleichung ergab x > 1. Welche x sind also erlaubt?

Zitat:

Original von gast0
Aus 1b und 2a müsste folgen x>=2 oder x<1

Die Fallbedingung lautet: x>=2 und x < 1
Überlege mal, ob das überhaupt geht.

Zum guten Schluß mußt du noch diese Lösungsmenge mit der Definitionsmenge abgleichen. Ursprünglich hatten wir eine Ungleichung mit Termen im Nenner.

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