Verktorraum lineare (un)abhängigkeit

21.10.2007, 16:40	mathestudi	Auf diesen Beitrag antworten »
Verktorraum lineare (un)abhängigkeit Hallo, ich habe noch eine weitere Aufgabe, für die ich zwar eine Teillösung habe, diese aber ausformulieren muss und nicht weiß, wie ich das mathematisch mache. Aufg.: Zeige: Ein System von unendlich vielen Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn jedes endliche Teilsystem linear unabhängig ist. Zur Lösung habe ich soweit: Wenn jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist, dann ist auch die Gesamtmenge linear unabhängig. --> $\begin{eqnarray} \sum_{j \in J}^{}~{\alpha_j v_j} \end{eqnarray}$ Kann mir das jemand vielleicht helfen, das weiter auszuformulieren?? Danke schonmal.
21.10.2007, 17:06	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast jetzt die eine Schlussrichtung (für Äquivalenz müssen beide gezeigt werden!) nochmal wiederholt. Betrachte zunächst ein beliebiges nichttriviales, endliches Teilsystem von Vektoren. Wenn alle zugehörigen Elemente linear unabhängig voneinander sind, was folgt für die Darstellung des Nullvektors als Linearkombination? Schließe so auf das gesamte System. Die Rückrichtung verläuft ziemlich analog.
21.10.2007, 17:10	mathestudi	Auf diesen Beitrag antworten »
es tut mir leid, aber ich habe das jetzt überhaupt nicht verstanden und muss dieses übungsblatt morgen abgeben. kannst du mir das nochmal etwas einfacher erklären? auch wie ich das dann aufschreiben muss? ich bin nämlich erst seit 1 woche an der uni und finde, das diese aufgabe(n) für den anfang schon sehr schwer sind. naja, brauche aber die punkte...
21.10.2007, 17:28	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal bedeutet $\begin{eqnarray} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray}$ , dass für Aussagen $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ sowohl $\begin{eqnarray} A \Rightarrow B \end{eqnarray}$ , als auch $\begin{eqnarray} B \Rightarrow A \end{eqnarray}$ gezeigt werden muss. Nun zum Inhalt: Was ist denn eine äquivalente Formulierung der linearen Unabhängigkeit einer Familie von Vektoren?
21.10.2007, 17:50	mathestudi	Auf diesen Beitrag antworten »
was äquivalent bedeutet, ist mir klar. aber muss hier nicht nur eine richtung gezeigt werden? jedes endliche teilsystem linear unabhängig --> system von unendlich vielen vektoren linear unabhängig was deine zweite aussage bedeutet, weiß ich nicht, verstehe ich nicht.
21.10.2007, 17:57	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Da steht "genau, dann wenn". Das bedeutet logische Äquivalenz, also beide Richtungen. Das zweite war keine Aussage, sondern eine didaktische Frage an Dich. In der Vorlesung müsstet Ihr jedenfalls besprochen haben, dass für eine endliche Familie $\begin{eqnarray} (v_i)_{i =1, \ldots, n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ von Vektoren lineare Unabhängigkeit genau dann, gilt wenn bei $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0 \end{eqnarray}$ notwendigerweise alle Skalare $\begin{eqnarray} \alpha_i = 0 \end{eqnarray}$ sind.
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21.10.2007, 17:59	mathestudi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das haben wir. was kann ich damit anfangen?
21.10.2007, 18:05	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dieses Kriterium für alle endlichen Teilsysteme gilt, was folgt dann für das unendliche Gesamtsystem?
21.10.2007, 18:09	mathestudi	Auf diesen Beitrag antworten »
dass es auch gilt??

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