Gleichheit zweier Maße im Borelschen Messraum

21.10.2007, 17:27

toasten

Gleichheit zweier Maße im Borelschen Messraum

Hallo,

ich weiß nicht wirklich, wie ich mit folgender Aufgabe anfangen soll:

Sei (IR, B) der Borelsche Messraum und $\begin{eqnarray*} \mu_1 , \mu_2 \end{eqnarray*}$ zwei $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endliche Maße auf (IR,B) mit $\begin{eqnarray*} \mu_1([a,b)) = \mu_2([a,b)) \end{eqnarray*}$ .

Zeige: $\begin{eqnarray*} \mu_1(b) = \mu_2(b) \end{eqnarray*}$ mit b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ B

Kann mir jemand vielleicht helfen, wie da ran gehen muss.

Danke!
Torsten

21.10.2007, 19:39

Ambrosius

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Hmm, also so direkt fällt mir da nur eine Idee ein:

Du weißt nach Voraussetzung das die Maße auf halboffenen Intervallen übereinstimmen. Versuche dadurch zu zeigen das sie auch auf offenen/abgeschlossenen Intervallen übereinstimmen, indem du diese Intervalle durch halboffene Konstruierst. Das zeigst du für alle möglichen Intervallarten.

Ist das denn die gesamte Aufgabe? Oder ist da vielleicht noch ein Hinweis oder eine Forderung an die Menge b?

Eigentlich ist dies eine Folgerung aus dem Maßeindeutigkeitssatz. Aber vermutlich hattet ihr den noch nicht und daher wirst du ihn nicht verwenden dürfen/können

21.10.2007, 21:43

toasten

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Hi,

ja, das waren alle Angaben.

Der Ansatz deiner Idee ist eigentlich ganz gut... Ich habe halt nur eigentlich gedacht, dass alle Teilmengen von B halboffen sind?!?

Denn in meinem Kurstext steht zur Def von B:
"Die vom Ring der n-dimensionalen Figuren erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra über IR^n heißt die Borelsche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra
$\begin{eqnarray*} B^n := \sigma_{R^n}(F^n) = \sigma_{R^n}(I^n). \end{eqnarray*}$ "

...und $\begin{eqnarray*} I^n \end{eqnarray*}$ ist bei uns der Ring der rechts-halboffenen Intervalle. Und der von diesen Intervallen erzeugt Ring über IR^n heißt der Ring der n-dimensionalen Figuren ( $\begin{eqnarray*} F^n := \rho(I^n) \end{eqnarray*}$ ).

21.10.2007, 22:11

Ambrosius

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Würde B nur aus halboffenen Intervallen bestehen, so wäre nichts zu zeigen. Denn nach Voraussetzung stimmten die Maße auf allen rechts-halboffenen Intervallen überein (sofern keine weitere Forderung an a und b gestellt sind).

Beachte noch:
Du hast ein Mengensystem gegeben. Nehmen wir mal an, das wären die abgeschlossenen Intervalle. Nun erzeugst du mit deren Hilfe eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra. Dann müssen ja auch alle Komplemente darin enthalten sein, also offene Mengen!

Damit will ich sagen, dass wenn eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra von halboffenen Intervallen erzeugt wird, alle Elemente der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra nicht notwendig halb offen sein müssen.

Ob mein obiger Ansatz allerdings zum Ziel führt weiß ich nicht. Da musst du einfach mal rumprobieren.

24.10.2007, 22:18

toasten

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Hi,

wie geht man denn damit um, dass $\begin{eqnarray*} \mu_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich sind?

Gruß
Torsten

24.10.2007, 22:56

toasten

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Ich habe jetzt mal probiert über dieses $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich weiterzukommen... und bin bis dahin gekommen:

Da $\begin{eqnarray*} \mu_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich ist, gibt es ja eine Folge $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} A_n \uparrow \Omega= \end{eqnarray*}$ IR und $\begin{eqnarray*} \mu_1(A_n) < \infty \end{eqnarray*}$ .

Sei nun diese Folge bestehend aus halboffenen Intervallen:
$\begin{eqnarray*} A_1 = \left[ a_1,b_1 \right) , A_2 = \left[ a_2,b_2 \right) , ... \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} b_1\leq b_2 \leq ... , a_1 \geq a_2 \geq ... \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt ja jeweils $\begin{eqnarray*} \mu_1(A_i) < \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_i \subset A_{i+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_i \uparrow \end{eqnarray*}$ IR.

Analog für $\begin{eqnarray*} \mu_2 \end{eqnarray*}$ .

Kann man jetzt sagen: $\begin{eqnarray*} \mu_1 \end{eqnarray*}$ (IR) $\begin{eqnarray*} =\mu_2 \end{eqnarray*}$ (IR) ???

Und somit, da $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \subset \end{eqnarray*}$ IR ist(?), folgt $\begin{eqnarray*} \mu_1(\mathcal{B}) = \mu_2(\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ ???

Gruß.
Torsten

25.10.2007, 15:50

Ambrosius

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Zitat:

Original von toasten
Kann man jetzt sagen: $\begin{eqnarray*} \mu_1 \end{eqnarray*}$ (IR) $\begin{eqnarray*} =\mu_2 \end{eqnarray*}$ (IR) ???

Nein ich denke nicht. So ganz ist mir nicht klar, was du mit den Folgen zeigen willst!!

Kommen wir mal zurück zur Aufgabenstellung. Du hast zwei Maße gegeben die auf den halboffenen Intervallen übereinstimmen. Nun sollst du zeigen, dass die beiden Maße auf jeder Menge aus der Borelschen Sigma-Algebra übereinstimmen.

1. Überlege dir welche Arten von Menge darin enthalten sind! Also nur offene? Nur abgeschlossene? Nur halboffene? Oder etwa alle Arten? Ein Hinweis dazu habe ich ja schon weiter oben gepostet!

2. Versuche dann Schritt für Schritt jeden Mengentyp auf eine Vereinigung / Schnitt von halboffenen zuurückzuführen. Z.B Mengentyp A kann als Vereinigung aller Mengen vom Typ B dargestellt werden. Dann wende das Maß darauf an.

Du darfst ja nicht vergessen, dass du als Voraussetzung nur die Gleichheit auf halboffenen Intervallen hast. Von daher wirst du damit auch arbeiten müssen.

25.10.2007, 20:37

toasten

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Worauf ich mit den Folgen hinaus wollte, weiß ich auch nicht mehr so recht.

Ich hab es jetzt über einen Widerspruch gemacht.
Ich habe angenommen, dass $\begin{eqnarray*} \mu_1(\mathcal{B}) \neq \mu_2(\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ ist und dann auch die Ungleichheit von $\begin{eqnarray*} \mu_{1,2} \end{eqnarray*}$ auf der Restriktion von HAlbringen gefolgert.

Ich hoffe, das reicht dem Korrektor :-)

Trotzdem danke.
Gruß Torsten

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