Ungleichung aus Axiomen folgern.

21.10.2007, 19:13

FabiB

Ungleichung aus Axiomen folgern.

Hallo,

vielleicht kann mir ja mal jemand einen Hinweis zur Lösung geben.

ich soll die Ungleichung für a>0, b>0

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2. \end{eqnarray*}$

aus den Körperaxiomen und Anordnungsaxiomen zeigen.

Ich hatte die Idee eine Fallunterscheidung für a=b, a<b, und a>b durchzuführen.
Für a=b ist es so auch leicht, aber ich komme trotzdem nicht weiter.

21.10.2007, 19:51

zweiundvierzig

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Es genügt bei Ungleichheit, o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a > b \end{eqnarray*}$ anzunehmen. Aber die Fallunterscheidung kommt erst später zum Zuge. Ein Tipp für die Umformung ist der Hauptnenner. Dann müsstest du bereits etwas sehen.

21.10.2007, 19:52

Gast1234

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Versuche doch einmal, die Ungleichung solange umzuformen, bis du zu einer wahren Aussage kommst. Von dieser wahren Aussage kannst du dann ausgehen und so auf die Ungleichung kommen.

Tipp: Binomsche Formel.

21.10.2007, 19:54

sqrt4

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$\begin{eqnarray*} (a-b)^2\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-2ab+b^2\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab \ \ | \cdot( a^{-1}b^{-1}) \end{eqnarray*}$

Ob das jetzt auch sauber im Sinne der Axiome ist weiß ich nicht.

21.10.2007, 20:11

Frooke

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Zitat:

Original von sqrt4
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-2ab+b^2\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab \ \ | \cdot( a^{-1}b^{-1}) \end{eqnarray*}$

Ob das jetzt auch sauber im Sinne der Axiome ist weiß ich nicht.

Doch, das passt, man kann einfach - wenn man will - noch $\begin{eqnarray*} x^2\geqslant 0 \end{eqnarray*}$ aus den Axiomen folgern Augenzwinkern

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Ungleichung aus Axiomen folgern.

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