beweis, dass wurzel 2 keine rationale Zahl ist

22.10.2007, 02:21

Fabian

beweis, dass wurzel 2 keine rationale Zahl ist

Hi,

Verstehe den folgenden Beweis nicht, warum wurzel 2 keine rationale zahl ist.

Beweis: Angenommen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ : Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p,q \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = \frac{p^2}{q^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*q^2 = p^2 \end{eqnarray*}$

Primfaktor 2 ist in $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ in gerader Anzahl enthalten.

Primfaktor 2 ist in $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ in gerader Anzahl enthalten.

Primfaktor 2 ist in $\begin{eqnarray*} 2*q^2 \end{eqnarray*}$ in ungerader Anzahl enthalten.

Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzahl!

Also ich erkenne an
$\begin{eqnarray*} 2*q^2 = p^2 \end{eqnarray*}$ schon, dass das nicht sein kann. Aber die Begründung mit dem Primfaktor 2 verstehe ich irgendwie nicht.
Kann mir das vielleicht einer plausibler erklären?

22.10.2007, 06:18

Airblader

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Mal die "gängige" Erklärung bei diesem Beweis, so wie ich sie kenne:

Es wird vorausgesetzt, dass p und q teilerfremd sind.
Da aus 2q² = p² aber folgt, dass sowohl p als auch q durch 2 teilbar sind, können sie nicht teilerfremd sein. Widerspruch.

Man könnte auch sagen: Der Bruch p/q ist nach Voraussetzung vollständig gekürzt. Sind aber p und q durch 2 teilbar, so ist er nicht vollständig gekürzt.

air

22.10.2007, 08:51

papahuhn

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RE: beweis, dass wurzel 2 keine rationale Zahl ist

Zitat:

Original von Fabian
Also ich erkenne an $\begin{eqnarray*} 2*q^2 = p^2 \end{eqnarray*}$ schon, dass das nicht sein kann. Aber die Begründung mit dem Primfaktor 2 verstehe ich irgendwie nicht. Kann mir das vielleicht einer plausibler erklären?

Woran erkennst du das denn? Die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ hat eine gewisse Anzahl von Zweien. Wenn man $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ quadriert, wird diese Anzahl mittels Potenzgesetzen verdoppelt.

22.10.2007, 09:44

klarsoweit

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RE: beweis, dass wurzel 2 keine rationale Zahl ist
Aus 2 * q² = p² folgt, daß p² gerade ist. Dann ist auch p gerade. (Wäre p ungerade, dann wäre auch p² ungerade). Da p gerade ist, gibt es ein k mit p = 2*k. Eingesetzt liefert das:
2 * q² = p² = (2*k)² = 4 * k². ==> q² = 2 * k²
Also ist q² bzw. auch q gerade.

Und da das ganze Schulstoff ist, wird es dahin verschoben. Augenzwinkern

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