Schwerpunkt eines Dreiecks - Vektoren

22.10.2007, 09:54	tilman_89	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt eines Dreiecks - Vektoren Hallo! Rechne gerade eine Aufgabe aus dem Mathe-Abitur MV '94. Hier die Aufgabenstellung: A(8;0;0), B(0;6;0), C(0;0;0), D(8;2;10), E(0;8;10) und F(0;2;10) sind Eckpunkte eines ebenflächigen begrenzten Körpers K [...] Untersuchen Sie, ob P(4;3;7,5) der Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden) des Dreiecks DBF ist! Die eigentliche Aufgabe ist relativ schnell gelöst, wenn man nur prüfen will, ob P der Schwerpunkt ist. Allerdings: Wie kann man den richtigen Schwerpunkt bestimmen (auch wenn's nicht Aufgabe ist)? Dafür habe ich zwei Vorüberlegungen, wobei $\begin{eqnarray} \vec{g} \end{eqnarray}$ der Richtungsvektor der Seitenhalbierenden von $\begin{eqnarray} \overline{DB} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{f} \end{eqnarray}$ der Richtungsvektor der Seitenhalbierenden von $\begin{eqnarray} \overline{DF} \end{eqnarray}$ ist. Die Ortsvektoren der Seitenmittelpunkte sind für $\begin{eqnarray} \overline{DB}\mathrm{:}\;\vec{O{M}_{1}}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \overline{DF}\mathrm{:}\;\vec{O{M}_{2}}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun zu den zwei Überlegungen: (1) $\begin{eqnarray} \vec{g} \circ \vec{DB}=0 \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \vec{g} = r \cdot \begin{pmatrix} -8\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -8\\ 4 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zur Erklärung: Bedingung (1) für $\begin{eqnarray} \vec{g} \end{eqnarray}$ , da er mit $\begin{eqnarray} \vec{DB} \end{eqnarray}$ einen rechten Winkel bilden muss (wegen Seitenhalbierender) und (2), da der Richtungsvektor in der Ebene des Dreiecks DBF liegen muss ( $\begin{eqnarray} \epsilon\mathrm{:}\; \vec{x}= \vec{OD}+r\cdot\vec{DF}+s\cdot\vec{DB} \end{eqnarray}$ ). Bei der Ebenengleichung dürfte allerdings der Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec{OD} \end{eqnarray}$ raus fallen, da ja nur der Richtungsvektor der Seitenhalbierenden interessiert. Die beiden Bedingungen auch noch einmal für $\begin{eqnarray} \vec{f} \end{eqnarray}$ : (1) $\begin{eqnarray} \vec{f} \circ \vec{DB}=0 \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \vec{f} = r \cdot \begin{pmatrix} -8\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -8\\ 4 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun habe ich $\begin{eqnarray} \vec{g} \end{eqnarray}$ aus (2) in (1) eingesetzt: $\begin{eqnarray} \left(r \cdot \begin{pmatrix} -8\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -8\\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\right) \circ \vec{DB}=0 \\ \left(r \cdot \begin{pmatrix} -8\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -8\\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Durch Bilden des Skalarprodukts komme ich auf: $\begin{eqnarray} 64r+180s=0 \end{eqnarray}$ Nun kann man ja einen Wert festlegen: z.B. $\begin{eqnarray} s=8 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} r=22{,}5 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \vec{g} = 22{,}5 \cdot \begin{pmatrix} -8\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+8\cdot \begin{pmatrix} -8\\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -244\\ 32 \\ -80 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Geradengleichung der Seitenhalbierenden von $\begin{eqnarray} \overline{DB} \end{eqnarray}$ ist dann also: $\begin{eqnarray} g\mathrm{:}\; \vec{x}&=& \vec{O{M}_{1}}+r\cdot\vec{g}\\ \vec{x} &=& \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -244\\ 32 \\ -80 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gleiches schnell noch für $\begin{eqnarray} \vec{f} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \left(r \cdot \begin{pmatrix} -8\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -8\\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\right) \circ \vec{DF}=0 \\ \left(r \cdot \begin{pmatrix} -8\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -8\\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Skalarprodukt gebildet: $\begin{eqnarray} 64r+64s=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s=1 \end{eqnarray}$ gesetzt, ist $\begin{eqnarray} r=-1 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \vec{f} \end{eqnarray}$ erhält man dann: $\begin{eqnarray} \vec{f}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Geradengleichung für die Seitenhalbierende von $\begin{eqnarray} \overline{DF} \end{eqnarray}$ ist dann also: $\begin{eqnarray} h\mathrm{:}\; \vec{x}&=& \vec{O{M}_{2}}+t\cdot\vec{f}\\ \vec{x} &=& \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 4 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als Schnittpunkt der beiden Geradengleichungen erhalte ich S(4;4;5). Das müsste der Schwerpunkt des Dreiecks sein. Allerdings erhalte ich ein anderes Ergebnis, wenn ich den Schwerpunkt mit einem Computerprogramm berechne. Danach wäre das nämlich $\begin{eqnarray} S(\cfrac{8}{3};\cfrac{10}{3};\cfrac{20}{3}) \end{eqnarray}$ . Also: Was habe ich falsch gemacht? Vielen Dank fürs Durchlesen und für eure Antworten!
22.10.2007, 10:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Computerprogramm hat das Resultat richtig berechnet. Für den Schwerpunkt S eines Dreieckes ABC gilt eine sehr einfache Formel $\begin{eqnarray} \vec{s} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \end{eqnarray}$ Beachte, dass die Seitenhalbierenden zwar von den Seitenmitten ausgehen, aber nicht normal zu den Seiten sind. mY+
22.10.2007, 10:08	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt eines Dreiecks - Vektoren zunächst kannst du den schwerpunkt sehr viel einfacher berechnen mit $\begin{eqnarray} S =\frac{1}{3}(D +B+F)\to S(\frac{8}{3}/\frac{10}{3}/\frac{20}{3}) \end{eqnarray}$ und dein fehler ist schnell gefunden: du hast den schnittpunkt der mittelsenkrechten berechnet, also die koordinaten des umkreismittelpunktes. die seitenhalbierenden stehen (in der regel) NICHT senkrecht auf die seite, sondern verbinden seitenmitte mit gegenüberliegendem eckpunkt.
22.10.2007, 10:23	tilman_89	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das macht das Ganze natürlich um so einiges einfacher...

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