CD-Rohlinge

11.04.2005, 18:26

Austi

CD-Rohlinge

Hallo... ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Bei der Produktion von CD-Rohlingen werden zu 90% einwandfreie CDs hergestellt. Es werden 3 CDs auf ihre Brauchbarkeit kontrolliert.

a) Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum und die Anzahl aller Ereignisse an!

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
A: Genau eine CD ist defekt.
B: Mindestens 2 CDs sind nicht defekt.

Untersuchen Sie A und B auf Unvereinbarkeit
c) Folgendes Ereignis wird beschrieben:
C: Die erste CD ist fehlerfrei.

Erstellen Sie eine Vierfeldertafel für die Ereignisse B und C.
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} P_C \end{eqnarray*}$ (nicht B) und $\begin{eqnarray*} P_B(C) \end{eqnarray*}$ .
Untersuchen Sie B und C auf stochastische Unabhängigkeit.
d) Unter 50 produzierten CDs befinden sich 5 defekte. Es werden zufällig 2 CDs ausgewählt und auf ihre Funktionsfähigkeit überprüft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle CDs brauchbar sind?

Kann mir jemand weiterhelfen?

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Mein Lösungsansatz:

zu a)

0 = Rohling brauchbar
1 = Rohling brauchbar

$\begin{eqnarray*} \Omega=\{ (x_1, x_2, x_3) | x_i \in {0;1}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\Omega|=2^3=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |P(\Omega)|=2^8 \end{eqnarray*}$

zu b)

A: 24,3 % (3*0,1*0,9*0,9=0,243)
B: 3 % ((0,1*0,1*0,1 + 0,1*0,1*0,9)*3=0,03

stimmt das bisher und wie geht´s weiter?? smile

Danke für Eure Hilfe
Austi

11.04.2005, 18:51

grybl

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RE: CD-Rohlinge
zu b) B:

in der Angabe steht nicht defekt

die Klammer ist auch nicht richtig gesetzt

Bei solchen Beispielen, wo der Ereignisraum klein ist, rentiert es sich die einzelnen Ereignisse aufzuschreiben und dann die passenden herauszuklauben smile

11.04.2005, 23:52

Austi

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RE: CD-Rohlinge
gut... ich habe noch etwas weitergerechnet... also

zu a)

0 = Rohling brauchbar
1 = Rohling brauchbar

$\begin{eqnarray*} \Omega=\{ (x_1, x_2, x_3) | x_i \in {0;1}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\Omega|=2^3=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |P(\Omega)|=2^8 \end{eqnarray*}$

zu b)

A: 24,3 % (3*0,1*0,9*0,9=0,243)
B: 97,2 % (3*0,9^2*0,1+0,9^3=0,972)

zu d)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle CDs brauchbar sind, ist 81 %!

OK, das ist gelöst und sollte auch richtig sein (falls nein: bitte melden! smile

)

Allerdings bereitet mir dieser Teil:

Untersuchen Sie A und B auf Unvereinbarkeit
c) Folgendes Ereignis wird beschrieben:
C: Die erste CD ist fehlerfrei.

Erstellen Sie eine Vierfeldertafel für die Ereignisse B und C.
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} P_C \end{eqnarray*}$ (nicht B) und $\begin{eqnarray*} P_B(C) \end{eqnarray*}$ .
Untersuchen Sie B und C auf stochastische Unabhängigkeit.

extrem große Schwierigkeiten! Wer kann das und kann mir weiterhelfen?? smile

Danke für Eure Hilfe
Austi

12.04.2005, 09:05

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Sicher ist es nur ein formaler Unterschied, aber ich würde die gesamte Aufgabe (zumindest a),b),c)) eher rund um die offensichtlich interessierende Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ... Anzahl defekter CDs unter den drei ausgewählten

aufbauen. Dann ist offenbar $\begin{eqnarray*} X\sim\mathrm{Bin}(3,0.1) \end{eqnarray*}$ ( = Binomialverteilung mit n=10 Versuchen und Erfolgswahrscheinlichkeit p=0.1),
und die interessierenden Ereignisse und zugehörige Wahrscheinlichkeiten können damit in einfacher Weise formuliert werden:

$\begin{eqnarray*} A=[X=1] \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} P(A)=P(X=1)=\ldots \end{eqnarray*}$ , genauso
$\begin{eqnarray*} B=[X\leq 1] \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} P(B)=P(X\leq 1)=\ldots \end{eqnarray*}$ .

Bei c) muss man näher unter die Lupe nehmen, wie X entsteht: $\begin{eqnarray*} X=X_1+X_2+X_3 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ ... 0-1-Zufallsgröße der k-ten CD: gleich 1 für defekt, und 0 für OK

Dann kann man schreiben $\begin{eqnarray*} C=[X_1=0] \end{eqnarray*}$ .

Mit Vierfeldertafel meinst du sicher die vier Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P\left(B\cap C\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P\left(B\cap C^c\right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P\left(B^c\cap C\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\left(B^c\cap C^c\right) \end{eqnarray*}$ , oder?

Dann kann man umformen (das Komma innerhalb der Wahrscheinlichkeit ist immer als logische "Und"-Verknüpfung zu verstehen) :

$\begin{eqnarray*} P(B\cap C)=P(X_1+X_2+X_3\leq 1,X_1=0)=P(X_2+X_3\leq 1,X_1=0)=P(X_2+X_3\leq 1)\cdot P(X_1=0) \end{eqnarray*}$

Vom zweiten zum dritten Term kommt man, weil $\begin{eqnarray*} X_1=0 \end{eqnarray*}$ in der Summe wegfällt, und vom dritten zum vierten wegen der Unabhängigkeit der drei CD-Auswahlen (ACHTUNG: Das gilt bei Aufgabe d) nicht mehr). Ähnlich kannst du bei den anderen drei Wahrscheinlichkeiten vorgehen. Und $\begin{eqnarray*} P_B(C)=\frac{P(B\cap C)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_C(B^c)=\frac{P(B^c\cap C)}{P(C)} \end{eqnarray*}$ sind dann ja mehr oder weniger Folgerungen.

12.04.2005, 19:17

Austi

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Dank Arthur Dent für Deine Hilfe!

Allerdings verwirren mich Deine Ausführungen mehr, als das sie mir helfen... es gibt zb eine frage:

$\begin{eqnarray*} unvereinbar : A \cap B = \{ \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} vereinbar : A \cap B \neq \{ \} \end{eqnarray*}$

so... das weiß ich, aber wie wendet man das nu an??

Danke für Eure Hilfe
Austi

12.04.2005, 19:28

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Zitat:

Original von Austi
Allerdings verwirren mich Deine Ausführungen mehr, als das sie mir helfen

Das liegt vielleicht daran, dass du eine seltsame Scheu vor Zufallsgrößen hast. Zumindest in deiner Matheboard-Historie gehst du denen immer konsequent aus dem Weg.

Das mit den Unvereinbar-Begriff stimmt.

12.04.2005, 20:11

Austi

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Naja, bisher hat das aber auch so ganz gut geklappt...

Aber ich bin ja bereit, Rat anzunehmen! War auch nicht böse gemeint mit dem Verwirren! smile

Aber wie kann ich denn jetzt A und B auf Unvereinbarkeit überprüfen??

Lieben Dank
Der Unverbesserliche smile

12.04.2005, 20:40

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Na, was bedeutet denn $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ :

"Genau eine CD ist defekt" und zugleich "Mindestens 2 CDs sind nicht defekt." entspricht ... verwirrt

P.S.: Mit meiner Zufallsgröße oben würde ich einfach schreiben

$\begin{eqnarray*} A\cap B = [X=1]\cap [X\leq 1]=[X=1 \wedge X\leq 1]=[X=1]=\ldots \end{eqnarray*}$

13.04.2005, 16:02

Austi

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Jo... alles klar! Habe fertig! smile

Dankeschön für Eure Hilfe!

MfG
Austi

15.04.2005, 12:03

SilverBullet

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args
Hallo,

die Aufgabe scheint zwar leicht zu sein, jedoch versteh ich leider keine Wahrscheinlichkeit unglücklich

Wie komme ich bei Aufgabe b auf die Lösungen ?

Habe mal hier einen Baum gezeichnet.

Wenn ich die Pfade abwandere bekomme ich folgendes :

0.1 Wahrscheinlichkeit, das direkt der erste der 3 Defekt ist.
0.9 * 0.1 Wahr. das der 2te Defekt ist.
0.9 * 0.9 * 0.1 Wahr. das der 3te Defekt ist.

Ergebniss : 27,1 % (0.1 + 0.9 * 0.1 + 0.9 * 0.9 * 0.1)

Wo ist mein Denkfehler ?

15.04.2005, 12:46

SilverBullet

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RE: CD-Rohlinge
Verstehe auch Teil d nicht.

50 CDs, darunter 5 Defekte.

Ich ziehe meine erste CD :

Wahrsch., dass sie defekt ist = 5/50

Nun ziehe ich aus den übrigen 49, worunter 4 Defekte sind eine Defekte mit 4/49.

Zusammen ergibt dies dann doch : 5/50 + 4/49 = 0.1816 = 18.16 %

Wieso kommt ihr auf was anderes oder wo mache ich den Fehler ?

15.04.2005, 12:56

SilverBullet

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ok
Problem von Aufgabe b gelöst....
Habe einfach binomialverteilung von 1 gemacht... Hatte vorher 0 und 1 addiert.. unglücklich

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CD-Rohlinge

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