abzählbare Menge --> Gruppe

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Veit Auf diesen Beitrag antworten »
abzählbare Menge --> Gruppe
Guten Tag,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht voran komme.

sei eine nichtleere, abzählbare Menge. Man zeige, dass eine Verknüpfung existiert, so dass eine Gruppe ist.

Der Beweis wird vermutlich per Widerspruch geführt - wahrscheinlich wegen der Abzählbarkeit von H. Ich wollte also die Menge aller Abbildungen Abb(H,H) betrachten und mich an den Gruppenmerkmalen nach und nach zum Widerspruch durchhangeln. Also, angenommen es gäbe keine assoziative Abbildung, dann ... . Aber irgendwie komme ich nicht weiter weil mir nicht klar ist, was ich daraus nun folgern kann.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgrund der Abzählbarkeit kann man ja identifizieren, da unter der Addition eine Gruppe bildet. Es geht also darum, einen Gruppenisomorphismus zu konstruieren, sodass für .

Edit: Gesetzt den Fall, mit "abzählbar" ist "abzählbar unendlich" gemeint. Für ein endliches lässt sich analog eine Restklassengruppe benutzen.
Veit Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.
Also nehmen wir mal an ist abzählbar unendlich. Dann verstehe ich, dass isomorph zu ist. Aber wie soll ich denn im allgemeinen Fall einen Gruppenisomorphismus konstruieren? Kann ich nicht einfach "Elementweise" alle mit identifizieren und dann die Verknüpfung aus (also die Addition) nehmen? Oder verstehe ich das falsch?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die "gewohnte Addition" ist ja nicht notwendig auch auf erklärt. Du musst also zeigen, dass diese Abbildung existiert und auch mit verträglich ist.
Veit Auf diesen Beitrag antworten »

Aber warum kann ich das nicht einfach so machen:

Seien und ich setze nun .

Dann ist neutrales Element mit usw. und ich definiere einfach die Addition auf H ... mit usw.

Oder wie zeige ich denn, dass eine mit verträgliche Abbildung existiert?
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