Beweis einer Ungleichung

22.10.2007, 20:38

Joefish

Beweis einer Ungleichung

Hi,
Ich bin mir bei einer Aufgabe nicht ganz sicher...

Zitat:

Gegeben sind die quadratischen Funktionen f und g durch
$\begin{eqnarray*} f(x)=- \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{4}x^2+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) < g(x) \end{eqnarray*}$ .

Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } (f(x) < g(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } \left(- \frac{x^2}{4} - \frac{x}{2} < \frac{x^2}{4}+1\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty } \left(- \frac{4}{x^2} - \frac{2}{x} < \frac{4}{x^2}+1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to + \infty } \left(- \frac{4}{\infty^2} - \frac{2}{\infty} < \frac{4}{\infty^2}+1\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0-0 < 0+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underline{0 < 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to - \infty } \left( \frac{4}{\infty^2} + \frac{2}{\infty} < - \frac{4}{\infty^2}+1\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0+0 < -0+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underline{0 < 1} \end{eqnarray*}$

Ist somit bewiesen, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(x) < g(x) \end{eqnarray*}$ gilt ?

22.10.2007, 20:44

therisen

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Nein, das ist Unsinn. Ein Limes hat hier nichts verloren.

22.10.2007, 21:46

Joefish

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Ich hab nochmal drüber nachgedacht und denke das diese Lösung besser ist.

Wie man sieht ist $\begin{eqnarray*} \mathbb D < 0 \end{eqnarray*}$ da sich die Parabeln nicht schneiden.
Somit haben diese auch niemals einen gleichen y-Wert.
Nun berechnet man die Scheitelpunkte:
$\begin{eqnarray*} S_f\left(-1 | \frac{1}{4}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_g(0 | 1) \end{eqnarray*}$
Jetzt sieht man es deutlich. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} < 1 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

22.10.2007, 21:52

therisen

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Zitat:

Original von Joefish
Wie man sieht ist $\begin{eqnarray*} \mathbb D < 0 \end{eqnarray*}$ da sich die Parabeln nicht schneiden.

Was ist $\begin{eqnarray*} \mathbb D \end{eqnarray*}$ ?

Im Prinzip ist deine Idee richtig. $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac14(x+1)^2+\frac14\leq\frac14<g(x) \end{eqnarray*}$

22.10.2007, 22:11

Joefish

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$\begin{eqnarray*} \mathbb D \end{eqnarray*}$ ist die Diskriminante von $\begin{eqnarray*} f(x) - g(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von therisen
Im Prinzip ist deine Idee richtig. $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac14(x+1)^2+\frac14\leq\frac14<g(x) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist es noch die passenden "Worte" zu finden smile

Und könntest du die Umformung von f(x) mir zu liebe nochmal ausführlich hinschreiben? Gott

22.10.2007, 22:16

therisen

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Das ist einfach die Scheitelpunktsform. Du kannst diese ja mal ausmultiplizeren (binomische Formel).

22.10.2007, 22:30

Joefish

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Oh man..
Ich bin die ganze Zeit nicht auf dein Ergebnis gekommen,
weil ich den gleichen Fehler immer und immer wieder wiederholt habe.. Hammer

Naja.. Jetzt weiß ichs ^^

Danke für deine Hilfe smile

MfG Joefish

23.10.2007, 13:18

TommyAngelo

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Ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} f(x)<g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x²-\frac{1}{2}x<\frac{1}{4}x²+1 \end{eqnarray*}$

Wenn man dann weiterrechnet, so wird man feststellen, dass die Ungleichung für alle x gilt.

23.10.2007, 23:31

Joefish

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Zitat:

Original von TommyAngelo
Ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} f(x)<g(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}x²-\frac{1}{2}x<\frac{1}{4}x²+1 \end{eqnarray*}$

Wenn man dann weiterrechnet, so wird man feststellen, dass die Ungleichung für alle x gilt.

Ich versteh' nicht ganz wie du das meinst... verwirrt

24.10.2007, 01:55

mYthos

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Im gesamten Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} g(x) - f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , wie man leicht nachrechnen kann. Das ist das, was Tommy gemeint hat, denn die Differenzfunktion befindet sich durchwegs oberhalb der x - Achse (die quadr. Gl. $\begin{eqnarray*} x^2 + x + 2 = 0 \end{eqnarray*}$ hat keine reellen Lösungen).

mY+

24.10.2007, 16:19

TommyAngelo

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Zitat:

Original von mYthos
Im gesamten Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} g(x) - f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ , wie man leicht nachrechnen kann. Das ist das, was Tommy gemeint hat, denn die Differenzfunktion befindet sich durchwegs oberhalb der x - Achse (die quadr. Gl. $\begin{eqnarray*} x^2 + x + 2 = 0 \end{eqnarray*}$ hat keine reellen Lösungen).

mY+

Danke für die Erklärung mYthos!

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