Folge von Teilmengen(Schnitt=leer)

22.10.2007, 22:35

Yoshee

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Folge von Teilmengen(Schnitt=leer)

Man ermittle ein Beispiel für eine Folge nicht leerer Teilmengen von mit den Eigenschaften:
$\begin{eqnarray*} (i)M_{n+1}\subset M_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N _0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii)\bigcap_{n\in \mathbb N_0 } M_n=\emptyset \end{eqnarray*}$
Das geht doch gar nicht? Die haben doch als Schnittmenge logischerweise die Menge mit dem größten n(also die mit den wenigsten Elementen). Muss ich das jetzt noch beweisen, bei solch einer Aufgabenstellung?

22.10.2007, 23:42

papahuhn

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RE: Folge von Teilmengen(Schnitt=leer)
Tja, das ist das schöne an Unendlichkeiten. smile

smile

Ich gebe dir mal ein Paradoxon das zum Thema passt.
Beginne mit dem Zahlenbereich [1]. Entnehme der Menge ihre kleinste Zahl, und füge am andere Ende zwei neue, größere Zahlen hinzu. Wiederhole das unendlich oft.
$\begin{eqnarray*} [1] \rightarrow [2,3] \rightarrow [3,4,5] \rightarrow [4,5,6,7] \rightarrow ... \end{eqnarray*}$ .

Jede Zahlenbereich hat ein Element mehr als der vorige. Wieviele Zahlen hat der Bereich im "Unendlichen"?

23.10.2007, 07:08

Airblader

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Also die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} M_{n+1} \subset M_n \end{eqnarray*}$ bedeutet für mich, dass die Mengen mind. gleichgroß bleiben oder kleiner(!) werden müssen. verwirrt

verwirrt

Bsp (alle Beispiele sind in der Reihenfolge M_n, M_(n+1), M_(n+2), ...):

$\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \supset \{1,2\} \supset \{1\} \end{eqnarray*}$

Hier ist die Bedingung erfüllt (ist halt eine endliche Folge). Bei wachsenden Mengen:

$\begin{eqnarray*} \{1\} \subset \{1,2\} \subset \ldots \end{eqnarray*}$

ist zwar $\begin{eqnarray*} M_{n-1} \subset M_n \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} M_n \subset M_{n+1} \end{eqnarray*}$ , aber eben nicht $\begin{eqnarray*} M_{n+1} \subset M_n \end{eqnarray*}$ .

(Die Beispiele sollen der zweiten Bedingung nicht genügen, sind nur für Bed. i) Beispiele)

air

23.10.2007, 10:12

kiste

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Zitat:

Original von Airblader
Also die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} M_{n+1} \subset M_n \end{eqnarray*}$ bedeutet für mich, dass die Mengen mind. gleichgroß bleiben oder kleiner(!) werden müssen. verwirrt

verwirrt

Genau und das kleiner werden müssen ist hier der springende Punkt, denn im unendlichen können sie dann auch unendlich klein sein smile

smile

23.10.2007, 10:22

papahuhn

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Zitat:

Original von kiste
... denn im unendlichen können sie dann auch unendlich klein sein smile

smile

Qué?

23.10.2007, 19:24

Yoshee

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mhh, gibt es denn jetzt ein Beispiel? Falls nein, wie ist das zu schreiben/zu belegen?

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23.10.2007, 19:35

kiste

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Ja es gibt ein Beispiel. Versuche eine Folge von Mengen zu finden die gegen die leere Menge konvergiert.

23.10.2007, 19:39

AD

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Beispielsweise gewisse offene Intervalle reeller Zahlen: $\begin{eqnarray*} M_n = (0,?) \end{eqnarray*}$

Das Fragezeichen ? bitte selbst ausfüllen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.10.2007, 20:51

Yoshee

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Wenn ich euch richtig verstehe, soll ich eine Folge suchen, deren Glieder(Mengen) die leere Menge gemeinsam haben. Wäre das nicht: $\begin{eqnarray*} M_n=\{ \emptyset\} \end{eqnarray*}$
und ist das nicht ein Unterschied zu der Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} M_n=\ \emptyset\ \end{eqnarray*}$ .
Der erste fall bedeutet doch, sie haben die leere menge gemeinsam. Der zweite, dass sie Nichts gemeinsam haben. ist das nicht ein Unterschied?

23.10.2007, 21:57

AD

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Zitat:

Original von Yoshee
Wenn ich euch richtig verstehe, soll ich eine Folge suchen, deren Glieder(Mengen) die leere Menge gemeinsam haben.

Mich zumindest verstehst du da völlig falsch. Gemeint ist die zweite Variante deiner Aufzählung, das steht doch klar in deinem Eröffnungsposting.

23.10.2007, 22:09

Yoshee

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Sorry, ich versteh gar nichts mehr. Ich kann mir leider auch gar nicht vorstellen, wie eine Folge überhaupt gegen leere Menge konvergieren kann.

23.10.2007, 22:20

AD

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Na dann betrachte mal die Folge der offenen Intervalle $\begin{eqnarray*} M_n = \left( 0 , \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$ .

23.10.2007, 22:36

Yoshee

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Versteh ich leider auch nicht. Mal angenommen, wir nehmen 5 als höchstes n(schon klar, eigentlich unendlich...). dann haben wir die Glieder:

$\begin{eqnarray*} M_1=\{ 0; \frac{1}{5}; \frac{1}{4} ;\frac{1}{3}; \frac{1}{2} ;1\}, M_2=\{ 0;\frac{1}{5}; \frac{1}{4} ;\frac{1}{3} ;\frac{1}{2} \},M_3=\{ 0;\frac{1}{5} ;\frac{1}{4} ;\frac{1}{3} \},M_4=\{ 0;\frac{1}{5}; \frac{1}{4}; \}; M_5=\{ 0;\frac{1}{5} \} \end{eqnarray*}$
dann wäre die Schnittmenge doch ein-fünftel und 0?

23.10.2007, 22:37

Dual Space

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Zitat:

Original von Yoshee
... $\begin{eqnarray*} M_n=\{ \emptyset\} \end{eqnarray*}$
und ist das nicht ein Unterschied zu der Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} M_n=\ \emptyset\ \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \{\emptyset\}=\emptyset \end{eqnarray*}$

23.10.2007, 22:51

AD

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Zitat:

Original von Yoshee
Versteh ich leider auch nicht. Mal angenommen, wir nehmen 5 als höchstes n(schon klar, eigentlich unendlich...)

Offenbar ist es nicht so klar, denn das ist der entscheidende Unterschied!!!

Außerdem haben deine Mengen mit meinem Intervallbeispiel nicht das geringste zu tun. Nenne mir einfach mal eine reelle Zahl, die in jedem (wirklich jedem) $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ enthalten ist...

23.10.2007, 23:07

Yoshee

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ok dann formulier ich mein Problem mal anders:
in jeder Menge sind die nachfolgenden Mengen enthalten. Wie kann es da keinen Schnitt geben? vermutlich ist der Grund mal wieder, dass es unendlich ist, oder? Aber kann man sich das wirklich vorstellen? ich nicht...

23.10.2007, 23:14

AD

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Ich schlage vor, du informierst dich erstmal, wie der Durchschnitt über eine beliebige (auch unendliche) Anzahl von Mengen überhaupt definiert ist - mit "sukzessiven" Argumenten wie im endlichen Fall geht das nämlich nicht immer. Sonst haben weitere Diskussionen hier keinen Zweck - du ignorierst ja alle meine Argumente.

Gute N8 Wink

Wink

24.10.2007, 08:37

Airblader

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Ich habs ja zum Glück begriffen (Danke) und versuchs mal zu erklären:

Die Mengen werden immer kleiner, bis sie "praktisch" unendlich klein wird. Jetzt kannst du in deinem "endlichen Denken" zwar sagen: die 1 * 10^50 muss noch drin sein, aber ich/wir können dir dann ein beliebiges n0 nennen, ab dem keine Menge Mn mit n > n0 diese Zahl mehr enthält. Und das können wir für jede Zahl machen!
Es ist also wirklich wie bei der Konvergenz: Egal, welche Zahl du uns nennst, wir nennen dir unendlich Mengen dieser Folge, in denen die Zahl nicht mehr enthalten ist.

air

24.10.2007, 11:47

Tobias

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Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} \{\emptyset\}=\emptyset \end{eqnarray*}$

Echt?

verwirrt

24.10.2007, 12:46

Dual Space

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Genau genommen, könnte man $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ als Potenzmenge der leeren Menge auffassen. MMn macht es aber keinen Unterschied, wie man es schreibt. Denn die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge, somit ist die einelementige Menge $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ eine/die leere Menge.

24.10.2007, 13:40

papahuhn

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Du revolutionierst gerade die Unimathematik.

24.10.2007, 13:59

Dual Space

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Naja ... haltet es wie ihr wollt. Ich sehe den Unterschied nicht.

24.10.2007, 14:00

Tobias

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Dass du den Unterschied nicht siehst macht es ja nicht richtig.

http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrl...Crlichen_Zahlen

24.10.2007, 14:04

AD

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Zitat:

Original von Dual Space
Genau genommen, könnte man $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ als Potenzmenge der leeren Menge auffassen.

Richtig - aber diese Potenzmenge ist dann was anderes als die leere Menge. Vielleicht wird dir bei Betrachtung der Mächtigkeit dein Irrtum gewahr:

$\begin{eqnarray*} | \emptyset | = 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} | \{ \emptyset \} | = 1 \end{eqnarray*}$ .

24.10.2007, 14:15

Dual Space

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Nungut ... angesichts dieser Tatsachen gebe ich hier klein bei .... Forum Kloppe

Forum Kloppe

24.10.2007, 14:19

Tobias

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Zurück zum Thema:

Vielleicht hilft ja dieses Beispiel weiter:

$\begin{eqnarray*} M_0 = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_1 = \mathbb{N} \backslash \{1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M_2 = \mathbb{N} \backslash \{1, 2\} \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} M_k = \mathbb{N} \backslash \{1, \ldots, k\} \end{eqnarray*}$

Man sieht sofort, dass $\begin{eqnarray*} M_{k+1} \subset M_k \end{eqnarray*}$ gilt, denn $\begin{eqnarray*} M_{k+1} = M_{k} \backslash \{k+1\} \end{eqnarray*}$ .

Nimm jetzt mal an, dass es ein $\begin{eqnarray*} x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}_0} M_n \end{eqnarray*}$ gäbe. Dann muss dieses x in allen Mengen $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ enthalten sein.

Kannst du den Widerspruch erkennen?

25.10.2007, 10:49

Yoshee

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Super, das hab jetzt sogar ich kapiert! Freude

Freude

Danke schön, aber natürlich auch an Arthur und alle anderen!

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