simultan diagonalisieren

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11.04.2005, 17:18	LinA Lerner	Auf diesen Beitrag antworten »
simultan diagonalisieren Hi, $\begin{eqnarray} F,G\in\text{End}(\Bbb{R}^7) \end{eqnarray}$ sind diagonalisierbar und kommutieren d.h. $\begin{eqnarray} F\circ G=G\circ F \end{eqnarray}$ Wenn nun $\begin{eqnarray} \quad\Bbb{R}^7=\underbrace{\left<v_1,v_2\right>}_{=\text{Eig}(F,\lambda_1)}\oplus \underbrace{\left<v_3,v_4\right>}_{=\text{Eig}(F,\lambda_2)}\oplus \underbrace{\left<v_5,v_6,v_7\right>}_{=\text{Eig}(F,\lambda_3)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \quad\Bbb{R}^7=\underbrace{\left<v'_1\right>}_{=\text{Eig}(G,\mu_1)}\oplus\underbrace{\left<v'_2,v'_3,v'_4,v'_5\right>}_{=\text{Eig}(G,\mu_2)}\oplus\underbrace{\left<v'_6,v'_7\right>}_{=\text{Eig}(G,\mu_3)} \end{eqnarray}$ ist wie bestimmt man dann eine Basis $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} M_\mathcal{B}(F) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_\mathcal{B}(G) \end{eqnarray}$ Diagonalmatrizen sind. Beste Grüße
12.04.2005, 13:38	LinA Lerner	Auf diesen Beitrag antworten »
hochschieb
12.04.2005, 14:23	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kannst du soviel schieben wie du willst: Solange die Leute nicht wissen, was unter deiner Privatsymbolik $\begin{eqnarray} \text{End}(\Bbb{R}^7) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} M_\mathcal{B}(F) \end{eqnarray}$ u.a. zu verstehen ist, wird dir auch keiner antworten.
12.04.2005, 19:21	LinA Lerner	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arthur, naja das ist eigentlich keine Privatsymbolik sondern auch die Schreibweise wie sie im Buch Lineare Algebra von Gerd Fischer zu finden ist. End(V) ist ein Endomorphismus. Eine K-lineare Abbildung vom Vektorraum V in den Vektorraum V. Der K-Vektorraum V um den es geht ist hier eben der IR hoch 7 Und $\begin{eqnarray} M_\mathcal{B}(F)=M_\mathcal{B}^\mathcal{B}(F) \end{eqnarray}$ ist die Darstellungsmatrix von F bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} \mathcal{B} \end{eqnarray}$ Grüße LinA Lerner
12.04.2005, 20:19	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe mir da folgende Gedanken gemacht: man kann erstmal F und G in der Basis der v_i darstellen, dann ist F auf jeden schon mal eine Diagonalmatrix, G iA aber nicht. die einzigen Matrizen mit denen man jetzt Basistransformationen durchführen kann, die die Diagonalgestalt von F erhalten sind aber wieder Diagonalmatrizen. Das heisst eigentlich muss man zeigen, dass die v_i und die v'_i die gleichen sind (eventuell nach Umnumerierung) dafür hat man jetzt nur noch das F und G kommutieren Es gilt: $\begin{eqnarray} Av_1=\lambda_1 v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ABv_1=BAv_1=B\lambda_1 v_1=\lambda_1 Bv_1 \end{eqnarray}$ damit ist Bv_1 auch ein Eigenvektor von A dann gibt es 2 Möglichkeiten, entweder ist v_1 auch Eigenvektor von B, dann ist $\begin{eqnarray} B v_1 = \mu_i v_1 \end{eqnarray}$ für irgendein i und das wollten wir zeigen. oder Bv_1 ist nicht Eigenvektor von A, dann muss gelten: $\begin{eqnarray} v_2=Bv_1 \end{eqnarray}$ wenn man dieses Spiel jetzt nochmal macht, kriegt man $\begin{eqnarray} B^2 = id \end{eqnarray}$ und irgendwann sollte sich damit auch entweder ein trivialer Fall oder ein Widerspruch ergeben
13.04.2005, 17:39	LinA Lerner	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi quarague, habe deine Antwort leider nicht verstanden. Könntest du deine Lösung mal an folgendem konkreten Beispiel demonstrieren: Ist $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 6 & 13 & -10 \\ -10 & 6 & 10 & -7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 2 & -10 & 10 \\ 5 & 0 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & -5 & 7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} AB=BA \end{eqnarray}$ und beide Matrizen sind diagonalisierbar. $\begin{eqnarray} K^4=\underbrace{\left<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right>}_{=\text{Eig}(A,3)}\oplus \underbrace{\left<\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -5 \\ -5 \end{pmatrix}\right>}_{=\text{Eig}(A,5)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K^4=\underbrace{\left<\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right>}_{=\text{Eig}(B,7)} \oplus\underbrace{\left<\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right>}_{=\text{Eig}(B,2)} \end{eqnarray}$ Und wie diagonalisiere ich jetzt simultan? Laut Beweis aus dem Fischer ist : $\begin{eqnarray} \text{Eig}(A,3)=\left(\text{Eig}(A,3)\cap\text{Eig}(B,7)\right)\oplus \left(\text{Eig}(A,3)\cap\text{Eig}(B,2)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Eig}(A,5)=\left(\text{Eig}(A,5)\cap\text{Eig}(B,7)\right)\oplus \left(\text{Eig}(A,5)\cap\text{Eig}(B,2)\right) \end{eqnarray}$ aber was bringt mir das?
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14.04.2005, 16:08	LinA Lerner	Auf diesen Beitrag antworten »
hochschieb
14.04.2005, 18:50	LinA Lerner	Auf diesen Beitrag antworten »

15.04.2005, 08:40	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
also dieses geschiebe wird mir jetzt doch etwas zu viel. bitteb respektiere die boardregeln bezüglich pushposts, die sind nämlich unerwünscht, s. userguide. mfg jochen

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