abelsche Gruppe ist zyklisch?

23.10.2007, 14:14

Jenny1

abelsche Gruppe ist zyklisch?

Hi,
ich hänge total an einer Aufgabe:

Zitat:

Zeige: Jede abelsche Gruppe der Ordnung 6 ist zyklisch.

Und es ist angeklungen, dass die Aufgabe mit dem Satz von Lagrange zu lösen sei (Für G Gruppe, U Untergruppe gilt $\begin{eqnarray*} |G| = |G \setminus U| |U| \end{eqnarray*}$ und hier bei der endlichen Gruppe insbesondere $\begin{eqnarray*} |U| \text{ ist Teiler von } |G| \end{eqnarray*}$ ).

Ich komme aber nicht wirklich weiter, besonders wie ich das "abelsch" einbaue ist mir nicht klar.

Also wegen |G|=6 gibt es nur Untergruppen der Ordnungen {1,2,3,6}. Wenn man zeigen könnte, dass alle Untergruppen zyklisch sind würde ja folgen, dass auch G zyklisch ist.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

23.10.2007, 16:50

therisen

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Hallo,

nach dem Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen gilt

$\begin{eqnarray*} G\cong\mathbb Z/6\mathbb Z \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} G\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Nach dem chinesischen Restsatz gilt aber $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/6\mathbb Z\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Das beweist die Behauptung.

Gruß, therisen

23.10.2007, 17:46

Jenny1

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Hi,
leider hatten wir noch keinen der beiden Sätze behandelt. Genaugenommen haben wir erst zwei Vorlesungen Algebra hinter uns - es müsste also etwas elementarer zu lösen sein.

Trotzdem danke, ich behalte es im Hinterkopf.

28.10.2007, 12:42

therisen

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Falls dich eine elementare Lösung noch interessiert:

Man kann diesen Beitrag verwenden, um zu zeigen, dass es Elemente der Ordnung 2 und 3 gibt, etwa $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Dann hat $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ die Ordnung $\begin{eqnarray*} \mathrm{kgV}(2,3)=6 \end{eqnarray*}$ . Also gilt $\begin{eqnarray*} G=\langle ab\rangle \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

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