supremum bestimmen |
| 23.10.2007, 19:51 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| supremum bestimmen Bestimme Supremum von folgender Menge: Ich vermute 1=sup(M). Ich habe gezeigt, dass 1 obere Schranke ist. Nun muss ich zeigen, dass 1 die kleinste obere Schranke ist. Die Definition gibt folgendes her: Also 1 ist genau dann Supremum wenn gilt: (ich habe bereits 1 eingesetzt, und das lambda ist üblicherweise epsilon) Wie kann ich das denn jetzt zeigen? |
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| 23.10.2007, 20:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du solltst die Schranke nochmals nachrechnen .... mY+ |
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| 23.10.2007, 20:57 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh natürlich das war nur ein kleiner aufmerksamkeitsfehler der sich eingeschlichen hat, die Schranke vermute ich auch bei 5/2. Das Problem bleibt das selbe. Wie zeige ich das es keine kleineren oberen Schranken geben kann? |
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| 23.10.2007, 21:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du zeigst: Für jedes existiert ein Element , sodass ] mY+ |
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| 23.10.2007, 21:15 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist es eine gute idee das indirekt zu versuchen? ich weis nicht so richtig wie ich da rangehen soll. |
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| 23.10.2007, 21:27 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich epsilon = 1/100 wähle, wie zeigt das dann, dass die Aussage für alle epsilon>0 gilt? |
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| 23.10.2007, 21:40 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm ., könnte gehen, aber wie? Ich tendiere eher dazu, die Ungleichung* nach x zu lösen, und dann zu zeigen, dass die entsprechenden Elemente in der gegebenen Menge liegen. *) diese wird quadratisch; Zerlegung mittels der Lösungen in Linearfaktoren ...
Du kannst epsilon beliebig klein wählen (z.B. auch 0,0001), das wird aber letztendlich immer eine Stichprobe sein. Man müsste für einen stichhältigen Beweis also mit epsilon allgemein rechnen. Damit lautet die Ungleichung mY+ |
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| 23.10.2007, 21:49 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja ich weis nicht so genau, zumindest könnte man doch sagen: Angenommen es gibt eine weitere obere schranke S < 5/2... [ja so hatte ich es auch schon probiert. weis nicht genau woran ich dann gescheitert bin. vielleicht weis ich nicht wie ich das nach x auflöse wegem dem 1/x.] |
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| 23.10.2007, 21:52 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. und das auf einen Widerspruch führen. Aber das genau geschieht ja eigentlich auch umgekehrt mit dem epsilon. mY+ |
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| 23.10.2007, 21:58 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
langsam seh ich den wald vor bäumen nicht :-) ist es jetzt richtig wenn ich die formel mit dem epsilon nach x auflöse und zeige das x im bereich 1/2<x<=2 liegt? |
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| 23.10.2007, 22:09 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ähm...wie ist das wenn ich x=2 setze und somit rauskriege...epsilon>0, was ja stets wahr ist nach vorraussetzung. ist das eine lösung? |
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| 23.10.2007, 22:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
.. und dasselbe für x=0,5, na ja, kann man machen, weil man weiss, dass alle anderen Elemente von M kleiner als 2 sind. Ehrlich gesagt, wie exakt euer Dozent/Professor dies verlangt, weiss ich auch nicht. Der schlimmste Fall ist die Auflösung der Ungleichung mit allgemein epsilon, hab's gerade "angerechnet", wird aber "unwürzig", da mach' ich mal nicht weiter. Mit epsilon 0,01 ist's noch machbar. mY+ |
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| 23.10.2007, 22:28 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja blos das x nicht = 0,5 sein darf, da es streng größer ist. ich mache es bei der unteren schranke genauso, erst beweise ich 1 ist untere schranke, dann sage ich es kann keine größere untere schranke S geben, weil es ein element x=1 gibt das dann kleiner wäre als S. klingt das plausibel? |
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| 23.10.2007, 22:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es geht doch jetzt nicht um untere Schranken, sondern um das Supremum (2,5) 
Oder du hast das schon fertig ... Bei den unteren Schranken ist aber das Infimum = 2 mY+ |
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| 23.10.2007, 22:41 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja ich habe das mit den oberen schranken erstmal darauf beruhen lassen das ich für jedes epsilon ein x=2 finde so dass 5/2 * eps < x + 1/x ist. Ist es damit nicht gezeigt? ja natürlich ist 2 das infinum. ich habe gerade seelenruhig das selbe für 1 bewiesen :-) |
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| 23.10.2007, 22:49 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so mal ne frage: kann ich aus x+1/x < 2 mit der Vorraussetzung: a/b + b/a >= 2 direkt einen widerspruch folgern? |
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| 23.10.2007, 22:54 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
k. A.
Was sind a, b und wie hängen diese mit x zusammen? mY+ |
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| 23.10.2007, 22:59 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist ne regel die für jedes a,b > 0 und a,b reell aus den anordnungsaxiomen gefolgert haben. da x > 0, 1 > 0 ist und beides reelle Zahlen, würde ich diese regel jetzt verwenden und sagen x + 1/x = 1/x + x/1 >= 2. |
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| 24.10.2007, 01:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In den Anordnungsaxiomen ist eine solche Formel nicht zu finden. Sie dürfte - so wie du das formulierst - zudem falsch sein. Aus folgt ja nicht Was richtig wäre, ist Andererseits spielst du womöglich auf das Vollständigkeitsaxiom an: Zu jeder nichtleeren, nach oben beschränkten Teilmenge von R gibt es in R eine kleinste obere Schranke. Analog dazu: Zu jeder nichtleeren, nach unten beschränkten Teilmenge von R gibt es in R eine größte untere Schranke. mY+ |
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| 24.10.2007, 01:15 | FabiB | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist auch kein richtiger Satz sondern eine Gesetzmäßigkeit die ich als Übungsaufgabe bewiesen habe: Seien a,b reelle Zahlen. Für a>0, b>0 gilt a/b + b/a >= 2. Den haben wir aus den Körperaxiomen und Anordnungsaxiomen gefolgert. so als Beispiel 1/2 + 2/1 = 2, 1/10 + 10/1 = 10,1. Man kommt aber nie auf einen Wert unter zwei. und da ich in dem Beispiel während eines indirekten Beweises vorhin auf x/1 + 1/x < 2 gestoßen bin, meinte ich da könnte ich die Beweisführung stoppen und sagen hier gibt es einen Widerspruch aufgrund der Gesetzmäßigkeit von oben. |
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| 24.10.2007, 01:41 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach, jetzt verstehe ich. Ja, dieser Satz stimmt (fast), allerdings exakt, wenn a,b > 0 sind. Er folgt nämlich aus Binom ausquadrieren, 2ab nach rechts, durch ab >0 dividieren So. Damit kannst du nun zeigen, dass gilt: Und damit hast du den Widerspruch erreicht. Nicht schlecht! 
Das geht aber nur für das Infimum. Beim Supremum wird dies versagen, denke ich mal. mY+ |
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