Geometrische Summenformel durch Vollständige Induktion beweisen

23.10.2007, 20:41

Drakonomikon

Geometrische Summenformel durch Vollständige Induktion beweisen

Hallo ich bin neu hier und ich habe ein Problem bei folgendem Beweis:

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a^{k}b^{n-k}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

Habe für n=0 eingesetzt. Ergebnis stimmt. Alles noch gut.

Induktionsvorraussetzung:

Die o.g. Formel stimmt

Induktionsschluß:

(zu zeigen) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~a^{k}b^{n-k}=\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} \end{eqnarray*}$

(Schritt 1) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a^{k}*b^{n-k}+a^{n+1}*b^{(n+1)-(n+1)}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}+a^{n+1}*b^{0} \end{eqnarray*}$

(Schritt 2) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a^{k}*b^{n-k}+a^{n+1}*1=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}+a^{n+1} \end{eqnarray*}$

(Schritt 3) $\begin{eqnarray*} =\frac{(a-b)(a^{n+1})+a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} \end{eqnarray*}$

(Schritt 4) $\begin{eqnarray*} =\frac{a^{n+2}-ba^{n+1}+a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\neq\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{(a-b)} \end{eqnarray*}$ und nun? Wo ist der Fehler?

23.10.2007, 21:04

tigerbine

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Müßte es nicht

(zu zeigen) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~a^{k}b^{(n+1)-k}=\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} \end{eqnarray*}$

heißen?

23.10.2007, 21:10

vektorraum

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RE: Geometrische Summenformel durch Vollständige Induktion beweisen
Das ist der erste Tipp. Passe dann auf, wenn du versucht die linke Seite "auseinander" zu ziehen, um die Induktionsvoraussetzung einzusetzen. Da musst du beachten, dass du dann dort stehen hast $\begin{eqnarray*} b^{n+1-k} \end{eqnarray*}$ . Überlege dir, wie du das auf die IV zurückbringst.

23.10.2007, 21:57

Drakonomikon

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Zitat:

Original von tigerbine
Müßte es nicht

(zu zeigen) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~a^{k}b^{(n+1)-k}=\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} \end{eqnarray*}$

heißen?

Ja, in einem anderen Forum habe ich das auch schon so gesehen. Nur ich kam zu dem Entschluß dass das nicht richtig ist, und man erst das b^(n+1-k) einsetzt wenn man die Summe aufdröselt (so wie bei Schritt 1). Ich muss darüber noch mal rumknobeln.
Jedoch löst das leider mein Problem nicht, weil ich bereits bei Schritt 1 das k durch n+1 ersetzt habe.

Es sei denn es geht so:

(zu zeigen) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~a^{k}b^{(n+1)-k}=\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} \end{eqnarray*}$

(Schritt 1) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~a^{k}*b^{n-k}+a^{n+1}*b^{(n)-(n+1)}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}+a^{n+1}*b^{-1} \end{eqnarray*}$

(Schritt 2) fällt jetzt weg

(Schritt 3) wieder auf gleichen Nenner bringen und rumrechnen

(Schritt 4) $\begin{eqnarray*} =\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{b(a-b)}\neq\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{(a-b)} \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man nur noch drauf hoffen das eine geometrische Summenfolge nur eine ist wenn b=1, denn dann steht sich auch wieder im Einklang mit der Formel aus Wikipedia.
Da frage ich mich, was ist a und was ist b?

Zitat:

Original von vektorraum
Das ist der erste Tipp. Passe dann auf, wenn du versucht die linke Seite "auseinander" zu ziehen, um die Induktionsvoraussetzung einzusetzen. Da musst du beachten, dass du dann dort stehen hast $\begin{eqnarray*} b^{n+1-k} \end{eqnarray*}$ . Überlege dir, wie du das auf die IV zurückbringst.

Ich denke du meintest das gleiche wie tigerbine

23.10.2007, 22:03

tigerbine

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Nein, meint er nicht. Wenn Du Indukion machst, und n->n+1 betrachtest, musst Du auch alle n um 1 erhöhen. Also

(zu zeigen) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~a^{k}b^{(n+1)-k}=\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} \end{eqnarray*}$

Da spalten wir nun ein Summenglied ab

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~a^{k}b^{(n+1)-k}= \sum_{k=0}^{n}~a^{k}b^{(n+1)-k} +a^{n+1}b^0 \end{eqnarray*}$

Dann steht im ersten Summanden aber noch nicht die IV. Da ist jeweils ein b zuviel. Das wollte Dir Vektorraum sagen.

23.10.2007, 22:05

vektorraum

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Zitat:

Original von Drakonomikon
Ich denke du meintest das gleiche wie tigerbine

Nein, eben nicht. Und genau diesen Fehler hast du auch begangen, weshalb das bei dir nicht so hin haut. Schauen wir uns es nochmal an:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}a^kb^{n+1-k}=\sum_{k=0}^{n}a^kb^{n-k+1}+a^{n+1}b^{n+1-(n+1)} \end{eqnarray*}$

Um nun deine IV anzuwenden, musst du den linken Summanden noch etwas umformen im rechten Ausdruck. Wie machen wir das? Richtig:

$\begin{eqnarray*} b^{n-k+1}=b^{n-k}\cdot b^1 \end{eqnarray*}$

Verstehst du nun wo der Fehler liegt???

Edit: Schön, dass du mich verstanden hast, tigerbine Augenzwinkern

23.10.2007, 22:37

Drakonomikon

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(zu zeigen) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~a^{k}b^{(n+1)-k}=\frac{a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b} \end{eqnarray*}$

(Schritt 1) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}~a^{k}b^{n-k}*b+a^{n+1}b^{0}=\frac{(a^{n+1}-b^{n+1})*b}{a-b}+a^{n+1} \end{eqnarray*}$

Rest ist klar. Funktioniert. Ihr habt mir da sehr geholfen. Danke

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