Mittelwert der Abweichungen

23.10.2007, 23:02	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwert der Abweichungen Seien $\begin{eqnarray} x_1,x_2...x_n \end{eqnarray}$ Werte und $\begin{eqnarray} \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n} \end{eqnarray}$ . Außerdem sei $\begin{eqnarray} d_i=\|x_i-\bar{x}\| \end{eqnarray}$ Man zeige $\begin{eqnarray} \frac{\sum_{i=1}^nd_i}{n} \end{eqnarray}$ strebt für große n gegen Null. Also entweder ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht oder die Aufgabe is schwerer als ich mir einbilde... also bisher hab ich folgendes gemacht $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \|x_i-\bar{x}\|=\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n\| x_i-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k\|)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{n^2}(\sum_{i=1}^n \|n\cdot x_i - \sum_{k=1}^nx_k\|)=\frac{1}{n^2}\cdot \sum_{i=1}^n\|\sum_{k=1}^n(x_i-x_k)\|\leq\frac{1}{n^2}\cdot \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n\|x_i-x_k\| \end{eqnarray}$
24.10.2007, 22:31	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass diese Aussage falsch ist? Bsp.: für 2n Werte $\begin{eqnarray} x_1,x_2...x_{2n} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x_i=a \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \in {1,2,...,n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_i=-a \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \in {n+1,n+2,...,2n} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \bar{x}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_i=a \end{eqnarray}$ für alle i . Damit ist $\begin{eqnarray} \bar{d}=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}d_i=\frac{2na}{2n}=a \end{eqnarray}$
25.10.2007, 00:14	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, gut widerlegt. Vermutlich sollen zusätzlich alle Zahlen $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ positiv sein, kann das sein ? Grüße Abakus
25.10.2007, 16:33	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein... die Fragensteller haben einfach nicht aufgepasst.(weiß ich seit heute)

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