nullstellen bestimmen durch faktorisierung

24.10.2007, 13:53

filokaz

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nullstellen bestimmen durch faktorisierung

guten tag,

ich soll aus folgender gleichung die nullstellen bestimmen und den definitionsbereich benennen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}- \sqrt{4-4x} -1 \end{eqnarray*}$

ich komme soweit:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} - \sqrt{2(2-2x}-1 \end{eqnarray*}$

aber bestimmt hab ich jetzt noch gar nix. wie komme ich auf die nullstellen? kein plan wie man von hier weiter machen soll. hab nur so ein beispiel das sich ein schritt lösen lässt. das nutzt mir hier leider nicht soviel.

24.10.2007, 14:05

klarsoweit

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RE: nullstellen bestimmen durch faktorisierung
Ich sehe keine Gleichung. Möglicherweise ist das gemeint:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}- \sqrt{4-4x} -1 = 0 \end{eqnarray*}$

Bringe einen der Wurzelausdrücke auf die rechte Seite und quadriere.

24.10.2007, 14:45

filokaz

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RE: nullstellen bestimmen durch faktorisierung

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich sehe keine Gleichung. Möglicherweise ist das gemeint:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1}- \sqrt{4-4x} -1 = 0 \end{eqnarray*}$

Bringe einen der Wurzelausdrücke auf die rechte Seite und quadriere.

das bringt mich zu folgender auflösung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-4x} = \sqrt{x+1} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-4x = x+1 + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = 5x + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = 5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5/2 = x \end{eqnarray*}$

allerdings bezweifel ich das die aufgabenstellung damit erfüllt ist.

der aufgabentext ist folgender "bestimme analytisch alle Nullstellen von"

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{4-4x} - 1 \end{eqnarray*}$

hab ich das jetzt getan ? oder bin ich total am thema vorbei?

24.10.2007, 14:50

klarsoweit

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RE: nullstellen bestimmen durch faktorisierung

Zitat:

Original von filokaz
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4-4x} = \sqrt{x+1} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-4x = x+1 + 1 \end{eqnarray*}$

Die 2. Zeile ist falsch. Stichwort: binomische Formel.

24.10.2007, 14:56

filokaz

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wieso binomische formel?

wenn ich einen wert in einer wurzel hab und das dann hoch 2 nehmen fallen doch einfach nur die wurzeln weg ?!?

24.10.2007, 14:58

klarsoweit

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Und was ist bei einem Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} (\sqrt a + b)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Kannst ja deine Rechnung mit ein paar Zahlen durchspielen.

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24.10.2007, 15:03

filokaz

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Zitat:

Original von klarsoweit
Und was ist bei einem Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} (\sqrt a + b)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Kannst ja deine Rechnung mit ein paar Zahlen durchspielen.

ich versteh nicht worauf du hinaus willst.

die -1 hab ich ja auch quadriert, das ist dann +1

24.10.2007, 15:07

Pabene

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Du hast die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-4x} = \sqrt{x+1} - 1 \end{eqnarray*}$ wenn du diese nun quadrierst, dann steht da nicht:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4-4x})^2 = (\sqrt{x+1})^2 + (-1)^2 \end{eqnarray*}$

sondern:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{4-4x})^2 = (\sqrt{x+1} - 1)^2 \end{eqnarray*}$

Das war mit binomischer Formel gemeint

Das $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ ist dein a und die 1 ist dein b bei der 2. binomischen formel: $\begin{eqnarray*} (a-b)^2 \end{eqnarray*}$
Mfg
Pascal

24.10.2007, 15:21

filokaz

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sowas werd ich nie im leben in der klausur sehen -.-

$\begin{eqnarray*} 4-4x = ((x+1) - 1) ((x+1) - 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4-4x = x² + x -x + x +1 -1 -x -1 + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4-4x = x² \end{eqnarray*}$

und jetzt mit der p/q-formel weiter?

24.10.2007, 15:54

TommyAngelo

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Wo ist die Wurzel hin? verwirrt

verwirrt

24.10.2007, 16:27

ethused-Earthling

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Einige Hinweise:

1. $\begin{eqnarray*} (a-b)^2= a^2 -2ab + b^2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} ( \sqrt {a}) ^2 = a \end{eqnarray*}$

Und zur deiner zweiten Aufgabe:
Eine Wurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt {a} \end{eqnarray*}$ ist definiert, wenn $\begin{eqnarray*} a >= 0 \end{eqnarray*}$ ist.
(Bei komplexeren Wurzeln, einfach den Radikanten gleich null setzen und nach der Variable auflösen.)

24.10.2007, 23:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von filokaz
$\begin{eqnarray*} 4-4x = ((x+1) - 1) ((x+1) - 1) \end{eqnarray*}$

Also wenn, dann so:
$\begin{eqnarray*} 4-4x = (\sqrt{x+1} - 1) \cdot (\sqrt{x+1} - 1) \end{eqnarray*}$

TommyAngelo hatte schon darauf hingewiesen.

25.10.2007, 14:23

filokaz

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von filokaz
$\begin{eqnarray*} 4-4x = ((x+1) - 1) ((x+1) - 1) \end{eqnarray*}$

Also wenn, dann so:
$\begin{eqnarray*} 4-4x = (\sqrt{x+1} - 1) \cdot (\sqrt{x+1} - 1) \end{eqnarray*}$

TommyAngelo hatte schon darauf hingewiesen.

d.h aufgelöst stände dort dann

$\begin{eqnarray*} 4-4x = x² + 1 - \sqrt{x+1} - \sqrt{x+1} +1 \end{eqnarray*}$

bzw. zusammengefasst

$\begin{eqnarray*} 4-4x = x² + 1 -2\sqrt{x+1} + 1 \end{eqnarray*}$

wie krieg ich den die wurzel die überbleibt aufgelöst.

25.10.2007, 14:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von filokaz
d.h aufgelöst stände dort dann

$\begin{eqnarray*} 4-4x = x² + 1 - \sqrt{x+1} - \sqrt{x+1} +1 \end{eqnarray*}$

Leider auch das nicht, denn was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, ja, diese Wurzeln. smile

smile

Zitat:

Original von filokaz
wie krieg ich den die wurzel die überbleibt aufgelöst.

Wurzel auf einer Seite, den Rest auf der anderen Seite der Gleichung sammeln. Dann wieder quadrieren.

25.10.2007, 14:28

filokaz

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Zitat:

Original von klarsoweit
Leider auch das nicht, denn was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, ja, diese Wurzeln. smile

smile

Zitat:

Original von filokaz
wie krieg ich den die wurzel die überbleibt aufgelöst.

Wurzel auf einer Seite, den Rest auf der anderen Seite der Gleichung sammeln. Dann wieder quadrieren.

ich bin mir da echt nicht so sicher, aber wenns falsch ist bleibt option b

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+1} <=> x+1 \end{eqnarray*}$ ?

25.10.2007, 14:37

klarsoweit

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Mache aus dem Äquivalenzzeichen ein Gleichheitszeichen und die Sache ist ok. Das ist doch gerade die elementare Eigenschaft der Quadratwurzel, daß diese mit sich selbst multipliziert gerade das liefert, was unter dem Wurzelzeichen steht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und bitte zitiere nicht immer meinen kompletten Beitrag, sondern bestenfalls das, worauf sich deine Frage bezieht. Ich meine, ich weiß ja, was ich geschrieben habe.

25.10.2007, 14:44

filokaz

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ok, irgendwo mach ich dennoch einen fehler den ich nicht finde, die lösungsmenge die ich raus kriege ist schwachsinn

ursprünglich aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{4-4x} - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-4x = x+1 - 2\sqrt{x+1} + 1 \end{eqnarray*}$

zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} 2-4x = x - 2\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$

die wurzel isolieren

$\begin{eqnarray*} 2-5x = -2\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$

^2

$\begin{eqnarray*} 4-25x² = 4(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = -25x² + 4x \end{eqnarray*}$

das in die p/q formel eingesetzt gibt bei mir die lösungsmengen 0 und -4 .....das ist aber falsch. das sind nie im leben nullstellen.....was hab ich falsch gemacht?

25.10.2007, 14:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von filokaz
$\begin{eqnarray*} 2-5x = -2\sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$

^2

$\begin{eqnarray*} 4-25x² = 4(x+1) \end{eqnarray*}$

Wie hast du denn jetzt 2 - 5x quadriert? unglücklich

unglücklich

Und immer wieder rufen die binomischen Formeln: vergeßt uns nicht! smile

smile

25.10.2007, 14:51

filokaz

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Zitat:

Original von klarsoweit
Und immer wieder rufen die binomischen Formeln: vergeßt uns nicht! smile

smile

dreh ich mich damit nicht endlos im kreis was die wurzel angeht? dann hab ich ja auseschrieben das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} (2-5x)(2-5x) = (-2 * \sqrt{x+1}) (-2 * \sqrt{x+1}) \end{eqnarray*}$

daraus resultiert doch zwangsläufig wieder ein neuer bruch, wenn ich -2 mit der wurzel x+1 multipliziere ?!?

das ist doch eine neverending torture

25.10.2007, 14:56

klarsoweit

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Nee, nee. Die rechte Seite war doch ok. Da war nichts mit binomischer Formel, weil da keine Summe (bzw. Differenz) quadriert wurde. Es ging nur um die linke Seite.

25.10.2007, 15:01

filokaz

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$\begin{eqnarray*} (2-5x)(2-5x) = 4(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4-10x-10x+25x² = 4x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25x² - 24x + 3 = 0 \end{eqnarray*}$

? richtig

25.10.2007, 15:03

TommyAngelo

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Wie kommst du auf +3?

25.10.2007, 15:08

filokaz

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ach mist, verschrieben

$\begin{eqnarray*} 25x² - 24x = 0 \end{eqnarray*}$

jetzt krieg ich als lösungsmenge 0 und 24 raus.

ist das richtig?

hab die gleichung mal in maple eingegeben, da krie gich als lösung 24/25 raus...... die zahlen kommen zwar so in der gleichung vor, aber kA ob das jetzt stimmt oder net.

25.10.2007, 15:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von filokaz
jetzt krieg ich als lösungsmenge 0 und 24 raus.

ist das richtig?

Nun ja, die Null schon. Du brauchst doch in der Gleichung nur das x ausklammern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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