Ableitung von Funktionen mit Betragsstrichen

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24.10.2007, 16:53	Theurer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von Funktionen mit Betragsstrichen Hallo, mittlerweile habe ich etliche Foren abgeklappert und keine sinnvolle Lösungsmöglichkeit für Ableitungen von Funktionen mit Betragsstrichen gefunden. Bedingung: Der Lösungsweg MUSS auch ohne Fallunterscheidung möglich sein. Das hat der Prof. erst gestern an die Tafel gemalt. Ein Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x) = \vert x \vert; x\neq 0\ \end{eqnarray}$ Hierbei wäre die Ableitung via Fallunterscheidung -1 für x<0 und 1 für x>0. Das ließe sich aber auch folgendermaßen darstellen: $\begin{eqnarray} f(x) = \vert x \vert \\=>f'(x) = \frac{\vert x \vert} {x} \end{eqnarray}$ Das habe ich auch soweit begriffen. Nun hätte ich gerne eine möglichst genaue forgehensweise für die Ableitung von: $\begin{eqnarray} f(x) = Ln \vert \frac {1-x} {1+x} \vert \end{eqnarray}$ Bitte ohne Fallunterscheidung!!! Vielen Dank
24.10.2007, 18:14	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von Funktionen mit Betragsstrichen Die Betragsfunktion ist im Punkt x=0 nunmal nicht differentierbar. Allerdings gibt es den Begriff der verallgemeinerten Ableitung, evtl. meinst du den?
24.10.2007, 18:41	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz stur die Kettenregel anwenden. Die Ableitung von g(x)=\|x\| hast du ja schon.
24.10.2007, 20:07	Theurer	Auf diesen Beitrag antworten »
kann dir nicht ganz folgen! Ohne Betragsstriche hast du natürlich recht: Kettenregel und gut ist. Aber mit den Betragsstrichen weiß ich nicht weiter! Meinetwegen ist das völlig trivial; trotzdem verstehe ich es nicht. Also bitte etwas deutlicher! danke
24.10.2007, 21:50	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Betragsfunktion ist ja auch eine normale Funktion, auf die du die Kettenregel anwenden kannst. Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x)=\|x^2+2x+1\|~\Rightarrow~f'(x)=\underbrace{\frac{\|x^2+2x+1\|}{x^2+2x+1}}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot \underbrace{(2x+2)}_{\text{innere Abl.}} \end{eqnarray}$
25.10.2007, 16:00	Theurer	Auf diesen Beitrag antworten »
... sieht gut aus. wenn ich dich richtig verstanden habe, dann ist die innere Abl. die "normale" Abl. dieser Fkt. Die äußere müsste die sign- Darstellung der Fkt. sein, oder? Eine letzte Frage hätt' ich noch: Der Prof hat eine Lösung für die Ln-Fkt(oben) angegeben, die folgendermaßen aussieht: $\begin{eqnarray} f(x) = Ln \mid \frac{1-x}{1+x} \mid \\ \Rightarrow f'(x) = \frac{(-1)\cdot (1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} \cdot \mid \frac{1+x}{1-x} \mid \cdot \frac{1+x}{1-x} \cdot \mid \frac{1-x}{1+x} \mid \end{eqnarray}$ was zusammengefasst: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{2}{x^2-1} \end{eqnarray}$ ergibt. Welcher Teil ist hierbei die äußere- und welcher die innere Ableitung? Meine Vermutung: Die beíden letzten Brüche (einmal mit-, einmal ohne Betragsstriche) sind die äußere Abl. Die ersten Beiden müsste demzufolge die innere Abl darstellen. Warum enthält dann aber eine innere Abl. Betragsstriche??? vielen Dank
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25.10.2007, 17:06	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein anderer Trick wäre den Betrag einfach umzuschreiben in $\begin{eqnarray} \|x\|=\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$
25.10.2007, 21:03	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast hier mehrere Verknüpfungen. Deshalb ist hier "innere" und "äußere" Ableitung nicht ganz einfach zu sagen. Das kommt immer drauf an, an welchem Schritt man gerade ist Deshalb fangen wir mal ganz außen an. $\begin{eqnarray} f(x)=\ln{\left\|\frac{1-x}{1+x}\right\|} \end{eqnarray}$ Die äußere Funktion ist $\begin{eqnarray} g(u)=\ln{u} \end{eqnarray}$ , die innere Funktion ist $\begin{eqnarray} u(x)=\left\|\frac{1-x}{1+x}\right\| \end{eqnarray}$ Die Ableitung davon ist $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(u)\cdot u'(x)=\frac{1}{\left\|\frac{1-x}{1+x}\right\|}\cdot u'(x)=\left\|\frac{1+x}{1-x}\right\|\cdot u'(x) \end{eqnarray}$ . Das ist der eine Bruch mit den Betragsstrichen. Für $\begin{eqnarray} u'(x) \end{eqnarray}$ brauchst du aber wieder die Kettenregel. Die äußere Funktion ist $\begin{eqnarray} h(w)=\|w\| \end{eqnarray}$ , die innere Funktion ist $\begin{eqnarray} w(x)=\frac{1-x}{1+x} \end{eqnarray}$ So kannst du dir nach und nach die Lösung deines Profs zusammensetzen.
25.10.2007, 21:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vorzeichenfunktion $\begin{eqnarray} \operatorname{sgn}(x) \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \frac{\|x\|}{x} \end{eqnarray}$ zu schreiben, hat doch etwas ungeheuer Künstliches. Findet ihr nicht auch?
26.10.2007, 23:39	Theurer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist dir wirklich gut gelungen. Besten dank!!!
26.10.2007, 23:41	Theurer	Auf diesen Beitrag antworten »
die Antwort galt dir => Calvin. Danke!
27.10.2007, 13:40	Theurer	Auf diesen Beitrag antworten »
@Calvin: Eines ist mir doch nicht so klar. Die äußere Fkt. g(u) =ln(u) mit u(x) = $\begin{eqnarray} \mid \frac{1-x}{1+x} \mid \end{eqnarray}$ . Warum ist die Ableitung von u(x)=1 ? Die Ableitung einer Ln- Fkt. wird doch nach Schema: Nenner = innere Fkt. und Zähler= Ableitung der inneren Fkt. berechnet. Bei dir ist Nenner logisch: u(x); Deine Abl. fürn Zähler verstehe ich nicht.
27.10.2007, 16:40	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke nicht zu formell. Ich habe die Ableitung u'(x) nicht auf den Zähler geschrieben, sondern hintendran. $\begin{eqnarray} \frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x) \end{eqnarray}$
02.11.2007, 17:48	Theurer	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie loglisch. Naja, sollte nun wirklich reichen! danke!

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