v. Induktion 2n < 2^n

24.10.2007, 18:28

n1smo

v. Induktion 2n < 2^n

Hi,
muss eine Aufgabe per vollständiger Induktion lösen, die für viele hier wohl weniger ein Problem darstellt, aber mich vor einige Schwierigkeiten stellt, da Mathe nicht so mein Ding ist traurig

Aufgabe ist folgende.

Beweise $\begin{eqnarray*} 2n < 2^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$

Hier mal mein Ansatz

IA:
$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot3 < 2^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6 < 8 \end{eqnarray*}$

IV:
$\begin{eqnarray*} 2n < 2^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$

IS:

Ja hier liegt halt mein Problem
ich kann zwar auf beiden Seiten ein bischen umformen, aber ich komme auf keine Gescheite Idee.

$\begin{eqnarray*} 2(n+1) < 2^{(n+1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(n+1) < 2^n \cdot 2^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n+1 < 2^n \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht weiter, wäre über ein bischen Hilfe durchaus erfreut Wink

24.10.2007, 18:58

aRo

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hi!

du musst ja deine Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen. Es ist daher klug, wenn du $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ stehen lässt.

Danach musst du die Beziehung: $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y>z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x>z \end{eqnarray*}$ benutzen.

24.10.2007, 20:00

Fabian

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Hey,

ich habe eine ganz ähnliche Aufgabe und hatte damit Anfangs auch ein Problem, bzw. konnte den IS nicht durchführen, da ich auch $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ hab stehen lassen. Nun habe ich es nochmal gemacht und habe $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ stehen lassen. Dann wars eigentlich ganz einfach.

Meine Frage dazu ist: Wie sieht man auf anhieb, was man stehen lassen muss / sollte um eine vollständige Induktion ohne Probleme durchführen zu können?
Habe da echt Probleme bei Ungleichungen.

24.10.2007, 20:09

Teddy

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RE: v. Induktion 2n < 2^n
Also, ich bin auch kein Experte in Vollständiger Induktion, aber ich würde es so machen:

Ich muss irgendwie von
2n < 2^n auf 2(n+1) < 2^(n+1) kommen. Dafür brauche ich die Beziehung
2 < 2^n für n >= 2. Die betrachte ich jetzt mal als trivial und spare mir einen Beweis. Durch Addition der beiden Ungleichungen erhalte ich
2n+2 < 2^n+2^n = 2*2^n, also
2(n+1) < 2^(n+1)

24.10.2007, 20:58

n1smo

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RE: v. Induktion 2n < 2^n

Zitat:

Original von Teddy
Also, ich bin auch kein Experte in Vollständiger Induktion, aber ich würde es so machen:

Ich muss irgendwie von
2n < 2^n auf 2(n+1) < 2^(n+1) kommen. Dafür brauche ich die Beziehung
2 < 2^n für n >= 2. Die betrachte ich jetzt mal als trivial und spare mir einen Beweis. Durch Addition der beiden Ungleichungen erhalte ich
2n+2 < 2^n+2^n = 2*2^n, also
2(n+1) < 2^(n+1)

Irgendwie hilft mir das alles noch nicht so wirklich.

Wie kommst du auf 2 < 2^n für n >= 2 ?

24.10.2007, 21:12

tigerbine

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Behauptung]

$\begin{eqnarray*} 2n < 2^n,\quad \forall n \geq 3 \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang, n=3]

$\begin{eqnarray*} 6 = 2\cdot 3 < 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$ Freude

Induktionsvorausetzung: Es gelte für ein n > 2:]

$\begin{eqnarray*} 2n < 2^n \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss: n-> n+1

$\begin{eqnarray*} 2(n+1) = \underbrace{2n}_{\text{IV}} + 2 < \underbrace{2^n}_{\text{IV}} + \underbrace{2}_{*} < 2^n +\underbrace{2^n}_{*} = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Man muss hier ja eine Abschätzung zeigen. Einen Summanden kann man nit der IV abschätzen. Da nun für n>2 gilt:

$\begin{eqnarray*} 2^1 < 2^n \end{eqnarray*}$ (*)

kann man diese Abschätzung einfach vornehmen. Mit ihr erhält man dann die gesuchte Abschätzung. Dieses (*) hat auch Teddy schon benutzt, nur anders notiert. Bielleicht benutzt Du auch einmal den Formeleditor. Liest sich so sehr schwer. Augenzwinkern

25.10.2007, 09:27

Teddy

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Zitat:

Bielleicht benutzt Du auch einmal den Formeleditor. Liest sich so sehr schwer. Augenzwinkern

Mach' ich, bin noch neu hier. In anderen Foren gibt's so einen Luxus nicht.

25.10.2007, 10:59

tigerbine

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25.10.2007, 18:15

n1smo

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super, danke für die Hilfe Wink

13.11.2007, 09:41

Teddy

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RE: v. Induktion 2n < 2^n

Zitat:

Original von n1smo

Irgendwie hilft mir das alles noch nicht so wirklich.

Wie kommst du auf 2 < 2^n für n >= 2 ?

Weil ich es so brauche. Den Beweisgang erst falsch rum machen (Zettel wegschmeißen, doppelte Moral), dann umkehren.

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