Potenzmenge <--> Zählmaße

24.10.2007, 20:18	baumbart	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzmenge <--> Zählmaße Nabend, ich hab da mal einige Fragen bezüglich einfacher Zählmaße etc. Speziell zu einer Aufgabe, in der ich die Fermi-Dirac Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B bestimmen soll. Zunächst die Aufgabe: $\begin{eqnarray} Sei X\neq leerer\ Menge, \ endlich. \ <br /> sei \ n= \mid X \mid , k\in \mathbb N_0 \\<br /> Fuer\ 0 \leq k \leq\ n\ bestimme\ man\ die\ Laplacesche\ Wkeit\\ auf\ der\ endlichen\ Menge\ M_k(X).\\<br /> Man\ berechne\ damit\ die\ Wkeit\ fuer\ das\ Ereignis\\ B=\{ \mu\ \in M_k(X) : \mu(x)=1\} \end{eqnarray}$ Wir haben unsere Menge Mk(X) mit der Potenzmenge von X identifiziert. Wenn ich nun zu einem gegebenen k die Laplacesche Wkeit bestimmen soll, ist das doch einfach die Wkeit aus meiner Menge X, eine k-elementige Teilmenge zu ziehen, oder? Dann zu dem Mk(X) noch mal. Dies soll die Menge aller einfachen Zählmaße auf X sein. Wie hängen die mit der Potenzmenge von X zusammen? falls noch Angaben fehlen, bitte kurz melden... schon mal danke im voraus
25.10.2007, 14:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab dein $\begin{eqnarray} M_k(X) \end{eqnarray}$ noch nicht verstanden: Ok, es ist eine Menge von Maßen auf der endlichen Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , genauer gesagt natürlich auf deren Potenzmenge $\begin{eqnarray} \wp(X) \end{eqnarray}$ als Sigma-Algebra. Zwar kenne ich das Zählmaß auf $\begin{eqnarray} (X,\wp(X)) \end{eqnarray}$ , aber mit "einfache Zählmaße" meinst du ja etwas allgemeineres ... Außerdem: Wie geht die Zahl $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ da ein?
25.10.2007, 16:48	baumbart	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, kleiner fehler, das k gehört da unten nicht hin. also noch mal. mit einfachem Zählmaß ist fogendes gemeint. Ich habe meine Menge X und ein Zählmaß $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ . Da es ein einfaches Zählmaß ist gilt: $\begin{eqnarray} \mu (x)=0\ oder\ \mu (x)=1,\ x \in X \end{eqnarray}$ . Es teten also nur die Werte 0 oder 1 auf. z.B. ist die Kardinaliät ein einfaches Zählmaß. $\begin{eqnarray} cd(M):= \sum_{x \in X}^.~cd(x)\ = \sum_{x \in X}^.~1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M(X) \end{eqnarray}$ soll dann die Menge aller einfachen Zählmaße auf X sein. Dieses $\begin{eqnarray} M(X) \end{eqnarray}$ wird dann mit der Potenzmenge von X identifiziert. Nur verstehe ich da den Zusammenhang nicht. Jetzt noch mal zum $\begin{eqnarray} M_k \end{eqnarray}$ . Dies ist definiert als $\begin{eqnarray} M_k(X):=\{ \mu\ \in M(X)\ : \ \mu (X) =k\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mu (X) = \sum_{x \in X}^.~\mu (x) =k \end{eqnarray}$ Mein Hauptproblem ist aber, die Menge aller einfachen Zählmaße auf X mit der Potenzmenge von X in Verbindung zu bringen.
25.10.2007, 17:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha - dann kann man also so ein allgemeines "einfaches Zählmaß" $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ mit Hilfe des gewöhnlichen Zählmaßes $\begin{eqnarray} \operatorname{cd}(A) := \|A\| \end{eqnarray}$ so charakterisieren: Es ist $\begin{eqnarray} \mu(A) = \operatorname{cd}(A\cap Y) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ irgendeine (natürlich in Beziehung zu $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ stehende) Teilmenge von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist. Dabei ist einfach $\begin{eqnarray} Y := \Big\{ y\in X \Bigm\| \mu(\{y\}) = 1 \Big\} \end{eqnarray}$ Genauer gesagt gibt es also zu jedem $\begin{eqnarray} Y\in\wp(X) \end{eqnarray}$ (Potenzmenge) ein $\begin{eqnarray} \mu\in M(X) \end{eqnarray}$ , und umgekehrt. Mit anderen Worten: Es liegt da eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} \wp(X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M(X) \end{eqnarray}$ vor - das war wohl schon deine Frage?
25.10.2007, 20:03	baumbart	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke das hat mir schon sehr geholfen. melde mich noch mal, falls ich noch Fragen zu obiger Aufgabe habe.

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