Nichtlineare Optimierung |
| 25.10.2007, 15:19 | Pferdchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Nichtlineare Optimierung kann mir jemand zu einer Frage der nichtlinearen Optimierung weiterhelfen? Also, ich habe eine nichtlineare Zielfunktion für ein Maximierungsproblem (und eine lineare Nebenbedingung, aber die spielt vorerst für meine Frage keine Rolle, könnte man auch weglassen). Wenn ich die Hessematrix des Lagrangian bilde, so ist deren Determinante = 0, d.h. es gibt keine Eigenwerte. 1. Ist meine Hessematrix dann indefinit? 2. Eine negativ-definite Hessematrix würde mir ja garantieren, daß zu meinem Problem, falls es eine Lösung hat, ein globales Maximum existiert. Jetzt habe ich aber ja keine negativ-definite Hessematrix. Wie kann ich anderweitig untersuchen, ob mein Problem ein globales Maximum hat? 3. Und wie kann ich zeigen, daß überhaupt eine Lösung existiert? Vielen Dank im Voraus für jegwede Hilfe oder Tipps! 
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| 25.10.2007, 17:23 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Nichtlineare Optimierung
Das heißt nur, daß 0 ein Eigenwert ist. Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte. Jede Matrix hat Eigenwerte!
Neben positiv und negativ definit unterschiedet man noch positiv semidefinit und negativ semidefinit. Nur alles was dann noch übrigbleibt, ist indefinit. Neben anderen möglichen Charakterisierungen heißt indefinit gerade, daß es sowohl Eigenwerte echt größer 0 als auch Eigenwerte echt kleiner als 0 gibt.
Das ist erstmal Unsinn. Solange du dich nicht in speziellen Problemklassen bewegst (beispielsweise konvexe Zielfunktion auf konvexen Gebieten) liefert dir jedes Kriterium, das mit Ableitungen arbeitet, nur lokale Aussagen.
Die Existenz klappt eigentlich meistens über den Satz von Weierstrass, stetige Funktionen nehmen auf kompakten Gebieten stets ein Maximum und Minimum an. |
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| 25.10.2007, 19:24 | Pferdchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Nichtlineare Optimierung Hallo tomtomtomtom vielen Dank für Deine Antwort! 
Jetzt weiß ich zumindest schon einmal, daß meine Hessematrix nicht indefinit ist, weil sie als einzigen Eigenwert 0 hat. Was ich nicht verstanden habe: "Das ist erstmal Unsinn. Solange du dich nicht in speziellen Problemklassen bewegst (beispielsweise konvexe Zielfunktion auf konvexen Gebieten) liefert dir jedes Kriterium, das mit Ableitungen arbeitet, nur lokale Aussagen." Wie kann ich denn herausfinden in welcher Problemklasse ich mich befinde? Darauf zielte auch meine Frage im Kern eigentlich ab. Um herauszufinden ob mein Problem konvex ist (bzw. konkav weil ich ein Maximierungs- und kein Minimierungsproblem habe) brauche ich doch gerade Ableitungen, oder? Oder was verstehe ich hier falsch? |
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| 26.10.2007, 03:11 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Vorsicht: Determinante = 0 heißt nicht, daß 0 der einzige Eigenwert ist, es heißt nur, daß 0 zur Menge der Eigenwerte gehört. Konvexität hat auch nur insofern etwas mit Differenzierbarkeit zu tun, daß zum Beispiel in IR gilt, daß konvexe Funktionen auf offenen Mengen links- und rechtsseitig differenzierbar sind. Noch nicht einmal differenzierbarkeit ist garantiert, wie das Beispiel der Betragsfunktion zeigt. Im R^n ist eine als zweimal stetig differenzierbare Funktion angenommene Funktion konvex, wenn die Hessematrix positiv semidefinit ist, und streng konvex wenn sie sogar positiv definit ist. Das schließt wieder den Kreis zur Optimierung. Das hinreichende Kriterium für eine Minimum fordert aber nur die positive Definitheit in einem Punkt, während du für Konvexität (und damit den Nachweis, daß die Lösung auch global ist) die positive Definitheit in allen Punkten nachweisen mußt. |
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| 07.11.2007, 10:42 | Pferdchen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Re: Nichtlineare Optimierung Hallo, ich konnte inzwischen mein nichtlineares Maximierungsproblem umstellen und deutlich vereinfachen. Ich würde es nun gerne der hier versammelten Gemeinde zum Fraß vorwerfen. 
Vielen Dank schon mal allen Tüftlern die sich meines Problems annehmen. 
Liebe Grüße vom Pferdchen |
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