Vollständige Induktion

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N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Für alle \{0}



Induktionsanfang:



Induktionsschritt:



Ist das soweit richtig, und wenn ja wie geht es weiter?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Zitat:
Original von N3M0


Falsch. Wie lautet denn der letzte Summand der Summe?
 
 
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

muss das n+1 vlt in klammern?
brain man Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Zitat:
Original von N3M0
Für alle \{0}


Die vollst. Induktion beweist nur Aussagen in .

Außerdem gilt :

N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

dann verstehe ich nicht, wie ich den zweiten summanden hinschreiben muss...
brain man Auf diesen Beitrag antworten »

@ klarsoweit : Sorry, dass ich schon wieder dazwischenfunke.

Zitat:
Original von N3M0
dann verstehe ich nicht, wie ich den zweiten summanden hinschreiben muss...


Beispiel aus nem anderen Induktionsbeweis :

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Du ziehst doch den letzten Summanden aus der Summe raus. Und der ist gewiß nicht n+1, sondern?

Zitat:
Original von brain man
@ klarsoweit : Sorry, dass ich schon wieder dazwischenfunke.

Ich trage es mit Fassung. Augenzwinkern
War aber auch gerade woanders beschäftigt.
welle100 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis geht nicht auf... hast dich wahrscheinlich vertippt am Anfang oder so.
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Leider stimmt das noch nicht. Warum hängst du an noch ein n+1 dran? Ich habe den argen Eindruck, du hast das Prinzip der vollständigen Induktion nicht verstanden.

Also du hast eine Aussage A(n):


Beim Induktionsschritt mußt du zeigen, daß, wenn A(n) gilt, auch A(n+1) gilt. Also wäre es vorteilhaft, wenn du erstmal die Aussage A(n+1) hinschreibst.
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

joa, irgendwie weiß ich nicht ob ich das für beide seite oder nur für die eine machen muss...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt für A(n+1) alle n's in A(n) durch n+1 ersetzen. Also natürlich auf beiden Seiten.
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

unser matehprof hat einfach das n+1 rechts mit dem bruch auf einen nenner gebracht und die klammer ausmultipliziert

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch soweit in Ordnung. Das Problem bei der vollständigen Induktion ist, daß da gerne formal gehuddelt wird. Und dann versteht es keiner.

Also wir machen den Induktionsschritt.

Dabei ist die Voraussetzung

und ist zu zeigen.

Letzteres hat der Prof mit einem Einzeiler gemacht. Ziemlich gemein von ihm. geschockt
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

also an dem k hab ich nix zu machen? oder was is jetzt richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. An dem k hast du nichts zu machen. Der läuft mal von 1 bis n und bei der anderen Summe von 1 bis n+1.
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle \{0}



Induktionsanfang:



Induktionsschritt:

Annahme A(n):



dann folgt:



also wäre das jetzt die induktion? woran sehe ich jetzt das der beweis stimmt, einsetzen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von N3M0
Annahme A(n):



Das muß heißen:


Zitat:
Original von N3M0
also wäre das jetzt die induktion? woran sehe ich jetzt das der beweis stimmt, einsetzen?

Im Prinzip ja. Setze in für den Ausdruck
ein. Das ergibt:



Und die rechte Seite muß jetzt gleich sein.
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, jetzt bin ich leicht verwirrt. kann ich nicht die rechte seite so lassen, oder wäre das dann nicht allgemein gültig respektive formal gültig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal: das ist die zu zeigende Aussage im Induktionsschritt:



Und ehrlich gesagt: bislang sehe nirgendwo eine lückenlose Gleichungskette, mit der klar nachgewiesen ist, daß die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Einfach hinschreiben heißt ja nicht, daß das tatsächlich so ist.
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

ja und wie beweise ich das jetzt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Steht doch alles da:
Zitat:
Original von klarsoweit
Im Prinzip ja. Setze in für den Ausdruck
ein. Das ergibt:



Und die rechte Seite muß jetzt gleich sein.

Sprich: du mußt nur noch solange umformen, bis rauskommt.
N3M0 Auf diesen Beitrag antworten »

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Induktionsanfang:



Induktionsschritt:

Annahme A(n):



dann folgt:



klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von N3M0
Annahme A(n):



Nochmal: das ist nicht A(n), sondern das ist A(n):



Zitat:
Original von N3M0


Über was summierst da da eigentlich in der ersten Summe?
Mit formal sauberer Schreibweise hast du es nicht so, oder? Ich schreibe den Induktionsschritt nochmal formal nachvollziehbar hin:

Es ist zu zeigen:



Unter Verwendung der Induktionsannahme gilt:





Fertig. smile
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