Diagonalen im Parallelogramm

25.10.2007, 15:48

oerny

Diagonalen im Parallelogramm

Hi, ich habe eine relativ einfache Aufgabe, aber finde ienfach nicht die Lösung, glaub ich bin zu sehr von alten Ideen beeinflusst, also frage ich mal hier nach nem neuen Ansatz:

Beweisen sie vektoriel, dass sich die Diagonalen in einem Parallelogramm mit den Seiten $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$ halbieren.

mein ansatz war wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \alpha * (a+b) = g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma * (-a-b) +a+b = h \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \beta * (a-b) +b = f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta* (-a+b) +a = i \end{eqnarray*}$ ,
ich weiß das: $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=\gamma+\delta=1 \end{eqnarray*}$
es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} g=h=f=i \end{eqnarray*}$ da alle Vektoren an Punkt E enden.
und nun? irgendwie klappt das nicht das da rauskommt:
$\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=\gamma=\delta=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

gibts da ne andere Möglichkeit wie das rein rechnerisch funktioniert?

25.10.2007, 16:13

riwe

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RE: Diagonalen im Prallelogramm
$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot (\vec{a}+\vec{b})+\beta\cdot (\vec{a}-\vec{b})-\vec{a}=\vec{o} \end{eqnarray*}$
und die beiden vektoren sind l.ua., was $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ liefert.

25.10.2007, 16:29

oerny

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ok es geht auch einfach, auf die idee, durch addition auf den "Ursprung" zu kommen kam ich nicht...
es gilt dann ja (nur das ichs richtig verteh)
mit $\begin{eqnarray*} \alpha (a+b) \end{eqnarray*}$ komm ich zu Punkt E
dann mit $\begin{eqnarray*} \\beta(a-b) \end{eqnarray*}$ von E zum Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ und von dort durch $\begin{eqnarray*} -\overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ zum "Ursprung"
also gilt:
$\begin{eqnarray*} \alpha (a+b)+\beta(a-b)=a \end{eqnarray*}$
daraus folgt $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha-\beta=0 \rightarrow a=b \end{eqnarray*}$
also muss
$\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

25.10.2007, 23:18

riwe

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Zitat:

Original von oerny
ok es geht auch einfach, auf die idee, durch addition auf den "Ursprung" zu kommen kam ich nicht...
es gilt dann ja (nur das ichs richtig verteh)
mit $\begin{eqnarray*} \alpha (a+b) \end{eqnarray*}$ komm ich zu Punkt E
dann mit $\begin{eqnarray*} \\beta(a-b) \end{eqnarray*}$ von E zum Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ und von dort durch $\begin{eqnarray*} -\overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ zum "Ursprung"
also gilt:
$\begin{eqnarray*} \alpha (a+b)+\beta(a-b)=a \end{eqnarray*}$
daraus folgt $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha-\beta=0 \rightarrow a=b \end{eqnarray*}$
also muss
$\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha-\beta=0 \rightarrow a=b \end{eqnarray*}$
das ist FALSCH, in der regel sind doch bei einem parallelogramm die seiten NICHT gleich lang, du verwechselst ursache und wirkung unglücklich

steht ja oben: die beiden vektoren sind linear unabhängig, also fasse zusammen und beachte, dass beid faktoren = 0 sind.
das nennt sich geschlossener vektorzug, oder nullsummenspiel unglücklich

26.10.2007, 00:28

ikarus08

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Stell doch einfach die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ mit nicht normierten Basen dar. Also mit $\begin{eqnarray*} \{A; \vec{a}; \vec{b}\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Beweis ziemlich einfach.

26.10.2007, 11:26

riwe

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Zitat:

Original von ikarus08
Stell doch einfach die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ mit nicht normierten Basen dar. Also mit $\begin{eqnarray*} \{A; \vec{a}; \vec{b}\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Beweis ziemlich einfach.

wo ist denn von normierten basen die rede verwirrt

im lande nirgendwo,
steht doch dauernd da, dass die beiden vektoren linear unabhängig sind unglücklich

26.10.2007, 15:06

oerny

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mein fehler, das sollte heißen das daraus folgt, $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ so stimmt das aber oder

26.10.2007, 15:09

riwe

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Zitat:

Original von oerny
mein fehler, das sollte heißen das daraus folgt, $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ so stimmt das aber oder

da ich es oben schon hingemalt habe, muß es wohl stimmen Big Laugh

26.10.2007, 15:28

oerny

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ok, wollte ja nur nochmal wissen ob ich so shcließen kann wie ich dsa gmacht habe, dann passts aber, DANKE

26.10.2007, 16:02

riwe

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es wäre gut, wenn du dazu deine rechnung hier rein stelltest,
ich habe das gefühl, deine erkenntnisse stehen auf sehr wakeligen beinen unglücklich

dann könnten wir nachvollziehen, ob du aus den richtigen prämissen die richtigen schlüsse ziehst, oder irgendwie umgekehrt Big Laugh

aber ganz wie du willst

29.10.2007, 22:42

oerny

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hatte ich doch oben schon oder?
also:
der ansatz ist ja nach kurzem umformen
$\begin{eqnarray*} \alpha (a+b)+\beta(a-b)=a \end{eqnarray*}$
daraus erkenn ich ja das
$\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha-\beta=0 \rightarrow \alpha=\beta \end{eqnarray*}$
sein muss, da die gleichung sonst nicht zu erfüllen ist.

29.10.2007, 22:52

riwe

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Zitat:

Original von oerny
hatte ich doch oben schon oder?
also:
der ansatz ist ja nach kurzem umformen
$\begin{eqnarray*} \alpha (a+b)+\beta(a-b)=a \end{eqnarray*}$
daraus erkenn ich ja das
$\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha-\beta=0 \rightarrow a=b \end{eqnarray*}$
sein muss, da die gleichung sonst nicht zu erfüllen ist.

das hatten wir auch schon,
und das ist derselbe blödsinn wie oben.
darauf wollte ich ja hinaus, du scheinst es nicht wirklich zu verstehen
beachte den titel des bilderls Big Laugh

30.10.2007, 12:50

oerny

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ahhhh nein, ich verstehs, ich bin nur zu blöd zum tippen, hie rnochmal das ganze, so wies heißen sollte und oben ahb ichs auch geändert.
$\begin{eqnarray*} \alpha (a+b)+\beta(a-b)=a \end{eqnarray*}$
daraus erkenn ich ja das
$\begin{eqnarray*} \alpha+\beta=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha-\beta=0 \rightarrow \alpha=\beta \end{eqnarray*}$
sein muss, da die gleichung sonst nicht zu erfüllen ist, da $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{a} \end{eqnarray*}$ bei einem echten Parallelogram ne andere Richtung als $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$ hat.

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