Koordinaten einer Pyramide berechnen

25.10.2007, 17:55

Micky00

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Koordinaten einer Pyramide berechnen

Die Basispunkte einer rechteckigen Pyramide A(-1/2/3), B(x/-2/0), C(4/y/z)

und D(x/y/z) liegen in der Ebene e: 2x – 5y + 6z + d = 0.

Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt D auf der Geraden

g: OX=(7/-18/20) + t(4/5/-1)

Berechne die fehlenden Koordinaten der Punkte B, C und D und ermittle das Volumen der Pyramide.

Also bei B komm ich auf B(-2/-2/0) (was auch mit dem Lösungsheft übereinstimmt)

Und jetzt? Wie soll ich Koordinaten mit 2 Unbekannten berrechnen?

Danke schon mal im voraus, wäre wirklich wichtig (-Matura!)

Julian Freude

Freude

25.10.2007, 23:31

riwe

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RE: Koordinaten einer Pyramide berechnen
bei C weißt du auch noch, dass es sich um ein rechteck handelt.
damit bekommt man über das kreuzprodukt
$\begin{eqnarray*} C(4/-2/-2) \end{eqnarray*}$ und jetzt sollte der rest kein problem mehr sein.

D(5/2/1)
S(11/-13/19)
V = 260

29.10.2007, 11:11

Micky00

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Danke für deine Antwort. Welche Koordinate muss ich mit welcher multiplizieren (also skalar) um auf C zu kommen!

Wäre sehr hilfreich

Danke!!

29.10.2007, 11:55

mYthos

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Nicht die Koordinaten, sondern die Vektoren werden skalar multipliziert (und dabei freilich dann auch deren Koordinatenprodukte addiert*). Wenn Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist deren skalares Produkt = 0 (werner dürfte sich da verschrieben haben).

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C(4; y; z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{BC} = \begin{pmatrix} 6 \\ y+2 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Gleichung in y,z: C liegt in der Ebene
2. Gleichung in y,z: $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \end{eqnarray*}$

*) skalare Multiplikaton: Guckst du hier

mY+

29.10.2007, 12:14

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
Nicht die Koordinaten, sondern die Vektoren werden skalar multipliziert (und dabei freilich dann auch deren Koordinatenprodukte addiert*). Wenn Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist deren skalares Produkt = 0 (werner dürfte sich da verschrieben haben).

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C(4; y; z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{BC} = \begin{pmatrix} 6 \\ y+2 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Gleichung in y,z: C liegt in der Ebene
2. Gleichung in y,z: $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \end{eqnarray*}$

*) skalare Multiplikaton: Guckst du hier

mY+

nein, ich habe mich nicht verschrieben,
ich habe es über das vektorprodukt gerechnet Big Laugh

Big Laugh

edit:für die neugierigen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix} 3\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix} 6 \\y+2 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.10.2007, 13:03

Micky00

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@ mYthos

Danke für deine Antwort!

Also wenn ich beide Vektoren multipliziere komme ich auf:

6 + 4(y+2) + 3z = 0

=> 4y + 3z + 14= 0

so jetz hab ich eine Gleichung mit 2 Unbekannten???

böse

böse

lg

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29.10.2007, 13:33

mYthos

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@Micky

Ja, so stimmt das, jetzt nach y, z auflösen!
Allerdings gibt es für den Punkt C zwei Lösungen, je nachdem, wie man dann den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$ orientiert.

@werner

Du listiger alter Fuchs! Big Laugh

Big Laugh

29.10.2007, 13:42

Micky00

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wie geh ich da genau vor?

29.10.2007, 13:47

mYthos

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Das lineare Gl. System nach bekanntem Muster nach y, z auflösen!
(Du hast ja noch eine Gleichung, die der Ebene, in der der Punkt C liegen soll)

-5y + 6z = -2
4y + 3z = -14
--------------------
...
sollte keine Schwierigkeit mehr bereiten!

mY+

29.10.2007, 15:30

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
@Micky

Ja, so stimmt das, jetzt nach y, z auflösen!
Allerdings gibt es für den Punkt C zwei Lösungen, je nachdem, wie man dann den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$ orientiert.

@werner

Du listiger alter Fuchs! Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x_C = 4 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

29.10.2007, 16:33

mYthos

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Natürlich! In diesem Fall gibt es ja nur die eine Lösung, so wie auch dein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ja nur einen Wert annehmen kann.
Danke!

mY+

04.11.2007, 12:43

Micky00

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So also ich hab das heute nochmal probiert, und bin letztendlich auf C (4/-2/-2) gekommen.

um auf C zu kommen rechne ich dann BC . CD = 0 oder?

und dann wieder mit der Ebenengleichung weiterrechnen.

S ?

Glg Freude

Freude

04.11.2007, 12:57

mYthos

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Zitat:

Original von Micky00
So also ich hab das heute nochmal probiert, und bin letztendlich auf C (4/-2/-2) gekommen.

um auf C zu kommen rechne ich dann BC . CD = 0 oder?

und dann wieder mit der Ebenengleichung weiterrechnen.
...

Ja, so ist es.

Zitat:

Original von Micky00
...
S ?
...

Vorschläge deinerseits??

mY+

04.11.2007, 13:35

Micky

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Danke für die Antwort!

Vektor DS anschreiben und dann mittels der Geradengleichung eine Variable eliminieren.(So wie vorher)
Nur wie? g: OX=(7/-18/20) + t(4/5/-1)-- wie komm ich da wiieder auf die Gleichungsform ? Ist alles schon so lange aus.. verwirrt

verwirrt

Danke!!

04.11.2007, 18:11

mYthos

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Die Gerade DS muss senkrecht auf der Ebene E stehen. Damit hat sie als Richtungsvektor den Normalvektor der Ebene; einen Stützpunkt kennst du auch schon, er ist D. Diese Gerade bringst du mit der anderen Geraden zum Schnitt.

Dazu setzt du den allgemeinen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ beider Geradengleichungen zeilenweise gleich. Dabei entsteht ein lin. Gl. System in 2 Variablen (den Parametern). Berechne aus 2 Gleichungen die beiden Parameter und verifiziere (unbedingt), dass diese auch die 3. Gleichung erfüllen.

[Kontr.: S(11;-13;19)]

mY+

05.11.2007, 18:25

micky00

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habs hinbekommen !! Danke!

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