Vollständige Induktion

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tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
hi,
ich habe einen beweis gemacht, Und wollte mal fragen, ob der Anfang richtig ist also rein formal. Gelöst habe ich ihn schon.

Das sollte ich beweisen:


Induktionsanfang:
Für n=1 gilt:






Vorraussetzung:
für n=k gilt:



Behauptung
für n=k+1 gilt:





klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion
Du verwechselst ständig Laufindex der Summe mit Endwert des Laufindex.
Richtig wäre:



Induktionsanfang:
ist ok.


Induktionsschluß
Die Behauptung gelte für ein n. Zu zeigen ist A(n) ==> A(n+1)



So würde ich den Beweis aufziehen.
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »

so recht verstehe ich noch nicht, was du meinst. Ich habe nochmal korrigiert:




Induktionsanfang:
Für n=1 gilt:






Vorraussetzung:
für n=k gilt:



Behauptung
für n=k+1 gilt:







so hatten wir das eigentlich in der Schule.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tuxianer
Vorraussetzung:
für n=k gilt:

Das ist einfach unsauber formuliert. n ist eben nicht k. n ist irgendeine feste, aber beliebige natürliche Zahl. Und der Laufindex k durchläuft alle Zahlen von 1 bis n. Es gibt also einen Summanden wo k=n ist. Aber k ist eben auch mal 1, 2, usw.

Du kannst sagen: Die Behauptung sei für ein beliebiges aber festes n gültig. Dann ist zu zeigen, daß diese auch für n+1 gilt.
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von tuxianer
Vorraussetzung:
für n=k gilt:

Das ist einfach unsauber formuliert. n ist eben nicht k. n ist irgendeine feste, aber beliebige natürliche Zahl. Und der Laufindex k durchläuft alle Zahlen von 1 bis n. Es gibt also einen Summanden wo k=n ist. Aber k ist eben auch mal 1, 2, usw.

Du kannst sagen: Die Behauptung sei für ein beliebiges aber festes n gültig. Dann ist zu zeigen, daß diese auch für n+1 gilt.


also wir hatten das schon bei 2 Mathematiklehrern. und die haben uns das alle so beigebracht mit n=k. Ich habe doch gezeigt, das es auch für n+1 gilt oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bemängele ja nicht den mathematischen Teil der Rechnung, sondern den formalen Teil:
Zitat:
Original von tuxianer
Behauptung
für n=k+1 gilt:

Das ist einfach formaler Nonsens. Am besten schaust du das nochmal im Mathebuch nach.
 
 
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Naja wie gesagt die Lehrer meinten das wäre richtig. Aber ich verstehe schon was du meinst und das erscheint logisch.


Noch nen versuch:


so recht verstehe ich noch nicht, was du meinst. Ich habe nochmal korrigiert:




Induktionsanfang:
Für n=1 gilt:






Vorraussetzung:
für n gilt:



Behauptung
für n+1 gilt:





klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir gefällt das schon deutlich besser. smile

Zitat:
Original von tuxianer
Behauptung
für n+1 gilt:



Genau genommen ist das die Behauptung für n+1:


Für darfst du laut Voraussetzung auch n² + 4n schreiben. Also ist zu zeigen, daß gilt:



Das hast du dann mit der weiteren Rechnung auch getan.
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs nochmal wie hier im Workshop probiert bis hier hin:



IA:

IS: n+1



so was kommt jetzt?
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habs:





IA:

IS: n+1









aber das war jetzt einfacher, als ich das gelöst habe. Ich hoffe ich bekomm in der Klausur dann Punkte drauf, wenn wir das sonst immer anders gemacht haben.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ziehst du aus den letzten Summanden raus.

EDIT: der letzte Summand ist nicht n+1, sondern?
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »

siehe oben ^^. haben wohl zu gleich geschrieben.


Edit. Wie letzten Summanden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tuxianer


Wie schon gesagt: n+1 ist nicht der letzte Summand. Wie der aussieht, bekommst du raus, wenn du in der Summe für k den Term n+1 einsetzt.
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »

2n+5?
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »



IA:

IS: n+1






klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Hervorragend. Freude

Das einzige wäre noch, eine Klammer zu setzen, damit man weiß, worauf sich die Summe bezieht: Augenzwinkern

Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Gott, überall nur Induktion.. ich glaube die Erstis sind los. Hammer
tuxianer Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Ok Also ich komme jetzt damit besser zurecht als wie wirs in der Schule gemacht haben...das ist so weniger Rechnerei irgendwie. Hat der Letzte Schritt auch nen Namen? Denn jetzt habe ich ja nur 2 (IA und IS)

Wir schreiben morgen die erste Klausur drüber (11. Klasse LK) also über Zahlenfolgen Induktion etc.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tuxianer
Hat der Letzte Schritt auch nen Namen? Denn jetzt habe ich ja nur 2 (IA und IS)

Also ich zähle nur 2 Schritte. Eben Induktionsanfang und Induktionsschritt.
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