Problem: Vollständige Induktion bei Ungleichungen

25.10.2007, 19:33

DerHandwerk

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Problem: Vollständige Induktion bei Ungleichungen

Hallo,

ich hab momentan noch enorme Probleme bei vollständigen Induktion wenn es um Umgleichungen geht.

Ich habe folgende Ungleichung zu beweisen: $\begin{eqnarray*} n! \geq 2^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$
Mein Ansatz:

IA: $\begin{eqnarray*} 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \geq 16 = 2^4 \end{eqnarray*}$

IV: $\begin{eqnarray*} n! \geq 2^n \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (n+1)! \geq 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} (n+1)! = n! \cdot (n+1) \geq 2^n(n+1) \geq 2^n \cdot 2 = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} n+1 \geq 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$ (an diesem Punkt bin ich mir sehr unsicher ob das so korrekt ist)

Frage: Ist das so korrekt?

Vielen Dank im Vorraus schon mal!

25.10.2007, 20:47

Calvin

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Ja, alles korrekt Freude

Freude

25.10.2007, 21:34

DerHandwerk

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Ich hab jetzt aber doch noch eine Frage zu dem Rückschluss: $\begin{eqnarray*} n+1 \geq 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$

Das kommt ja aus dem Term $\begin{eqnarray*} n! (n+1) \geq 2^n \cdot 2 \end{eqnarray*}$ . Ich bin jetzt zu dem Rückschluss gekommen weil ich hier gesehen hab das da ne 2 hin muss um
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$
zu ergeben aber nen vollständig Plan hab ich da nicht. Ich hoffe ihr wist was ich damit fragen möchte.

25.10.2007, 21:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von DerHandwerk
Ich hab jetzt aber doch noch eine Frage zu dem Rückschluss: $\begin{eqnarray*} n+1 \geq 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$

Hiermit bestätige ich: für alle natürlichen Zahlen ist $\begin{eqnarray*} n+1 \geq 2 \end{eqnarray*}$ , insbesondere auch dann, wenn n >= 4. Das kommt nirgendwo raus. Das ist eben so.

25.10.2007, 21:44

DerHandwerk

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Das is mir schon klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ich jetzt rechner und hier ankomme: $\begin{eqnarray*} (n+1)! = n! \cdot (n+1) \geq 2^n(n+1) \end{eqnarray*}$

Gibts da nen Rezept wie ich jetzt definitiv eine Beziehung aufstellen kann?

25.10.2007, 21:48

klarsoweit

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Nöö. Rezepte gibt es in der Mathematik äußerst selten. Eher im Kochstudio. Big Laugh

Big Laugh

Also du siehst den Term $\begin{eqnarray*} 2^n(n+1) \end{eqnarray*}$ und weißt, daß du nach $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ willst. Da vergleicht man mal die Terme und plötzlich ist klar, wie man abschätzen muß.

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25.10.2007, 21:49

DerHandwerk

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Alles klar, habe gedacht ich sehe das etwas nicht, aber wenn das wirklich so ist dann ist das halt so.

Vielen Dank!

25.10.2007, 22:53

DerHandwerk

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Eine noch! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gegeben: $\begin{eqnarray*} n^2 \geq 2n + 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$

IA: $\begin{eqnarray*} 4^2 = 16 \geq 9 = 2 \cdot 4 + 1 \end{eqnarray*}$

IV: $\begin{eqnarray*} n^2 \geq 2n + 1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \geq 2(n+1) + 1 = 2n +2 \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n(n+2+ \tfrac{1}{n}) \geq n(2n+1) = 2n^2 + n \geq 2n + 2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das stimmt auch so.

25.10.2007, 22:55

Calvin

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Zitat:

Original von DerHandwerk
$\begin{eqnarray*} n(n+2+ \tfrac{1}{n}) \geq n(2n+1) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf diese Abschätzung? Die stimmt für n=4 nicht. Lasse auf der linken Seite $\begin{eqnarray*} n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$ stehen und setze die Induktionsvoraussetzung ein.

25.10.2007, 23:07

DerHandwerk

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Ich hab mir gedacht ich n mal den term $\begin{eqnarray*} n + 2 + \tfrac{1}{n} \end{eqnarray*}$ habe dann muss der auf der anderen seite auch n mal stehen.

D.h. jetzt also $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \geq 2n + 2 \end{eqnarray*}$

25.10.2007, 23:40

Calvin

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Wie gesagt, deine Abschätzung war falsch. Kannst du durch Einsetzen von n=4 sehen.

Bei deiner angebotenen Lösung würde ich noch einen Zwischenschritt einfügen. So sieht man schlecht/nicht, dass die Induktionsvoraussetzung eingebracht wurde.

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \stackrel{I.V.}{\geq} (2n+1)+2n+1=4n+2\geq 2n + 2 \end{eqnarray*}$

26.10.2007, 00:04

DerHandwerk

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Alles klar danke!

26.10.2007, 08:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von DerHandwerk
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \geq 2(n+1) + 1 = 2n +2 \end{eqnarray*}$

Es macht im Ergebnis nichts aus, aber in meiner Welt ist 2(n+1) + 1 = 2n + 3. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2007, 14:42

DerHandwerk

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Hehe, das war nen Tippfehler auf dem Papier stimmt es.

Ich hab noch eine Frage zu ersten Ungleichung n! >= 2^n. Hab ich mit der volls. Induktion auch bewiesen, dass die Folge gegen null geht, oder muss ich dann noch mit dem Beweis per Epsilon-Umgebung nachlegen?

27.10.2007, 15:01

klarsoweit

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Welche Folge? verwirrt

verwirrt

27.10.2007, 15:09

DerHandwerk

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Mein Fehler!

Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Mit der Induktion oben habe ich bewiesen dass !n für n größer/gleich 4 stärker stärker wächst und nun soll ich den Grenzwert bestimmen und behaupte dass druch das übergroße n! der Bruch für n-->oo gegen 0 geht.

Folglich kann ich sagen:

$\begin{eqnarray*} |\frac{2^n}{n!} - 0| = \frac{2^n}{n!} < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun, wie löse ich das nach n auf?

27.10.2007, 18:09

klarsoweit

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Gar nicht. Schätze mit der oben bewiesenen Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \end{eqnarray*}$ nach oben durch (n-1)! ab.

27.10.2007, 18:52

DerHandwerk

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D.h. also:

$\begin{eqnarray*} (n-1)! > 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

Aber was genau bringt mir das Abschätzen für n-1?

27.10.2007, 19:04

klarsoweit

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Deine Folge ist nach unten durch Null beschränkt. Wenn wir sie nun noch nach oben durch eine Folge abschätzen, die gegen Null konvergiert, was macht dann wohl deine Folge?

27.10.2007, 19:25

DerHandwerk

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Ach meinst du zufällig das hier:

$\begin{eqnarray*} \tfrac{2^{n-1}}{(n-1)!} < \tfrac{2^n}{n!} \end{eqnarray*}$

27.10.2007, 19:40

klarsoweit

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Nein. Ich meine zufällig, daß du in $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} \end{eqnarray*}$ den Zähler nimmst und diesen mittels der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \leq (n-1)! \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzt.

28.10.2007, 17:08

DerHandwerk

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Ich hoffe ich fallen jetzt nicht bei dir in Ungnade, aber kannst mir erlären was bedeutet $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ mit der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \le (n-1)! \end{eqnarray*}$ . Ich hab heute jede Menge Lektüre dazu gewälzt, die Beispiele waren mir auch alle einleuchtend, aber in diesem fall weis ich nicht warum ich den Zähler mit der Formel abschätzen soll und vor allem wie ich da vorgehen muss. Gott

Gott

traurig

28.10.2007, 19:05

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Heidinei.

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} = 2 \cdot \frac{2^{n-1}}{n!} \leq 2 \cdot \frac{(n-1)!}{n!} \end{eqnarray*}$ für n >= 5

Jetzt bist du wieder dran.

28.10.2007, 21:55

DerHandwerk

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Gut, wenn ich das vereinfache komme ich auf: $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} < \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

Was mir aber immer noch nicht klar ist, warum muss ichd as für n-1 tun?

28.10.2007, 22:26

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Ganz einfach. Mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} \leq \frac{n!}{n!} = 1 \end{eqnarray*}$ hast du nicht viel gewonnen außer der Erkenntnis, daß deine Folge ab n >= 4 nach oben durch 1 beschränkt ist. Aber du wolltest ja Konvergenz zeigen.

28.10.2007, 22:49

DerHandwerk

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Ah, ich verstehe!

Wenn ich das noch mal für doofe aufschreibe weis ich was du meinst:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} = 2^n \cdot \frac{1}{n!} \le n! \cdot \frac{1}{n!} = \frac{n!}{n!} = 1 \end{eqnarray*}$
Und das wäre ja wirklich relativ ungünstig.

Aber was würde denn gegen n+1 sprechen?

29.10.2007, 08:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von DerHandwerk
Aber was würde denn gegen n+1 sprechen?

Könntest du das etwas genauer erläutern?

29.10.2007, 09:53

DerHandwerk

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Zitat:

Ich meine zufällig, daß du in den Zähler nimmst und diesen mittels der Ungleichung $\begin{eqnarray*} 2^{n-1}< (n-1)! \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzt.

Warum schätzt du das hier ab, in dem du in die Ungleichung n-1 einsetzt. Denkbar wäre doch auch n+1 (zumindest für mich).

29.10.2007, 10:03

klarsoweit

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Du meinst also diese Abschätzung:
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} \leq (n+1)! \end{eqnarray*}$

Von mir aus kannst du auch diese Abschätzung nehmen. Ob du damit jedoch zum Ziel kommst? verwirrt

verwirrt

Zeige mal, was du rechnen willst.

29.10.2007, 12:20

DerHandwerk

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Wenn nun das hier versuche:

$\begin{eqnarray*} \frac{2^n}{n!} = 2^{n+1} \cdot \frac{1}{2\cdot n!} < (n+1)! \cdot \frac{1}{2\cdot n!} = n! \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{2 \cdot n!} = \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich ja offensichtlich keinen Beweis für meine Theorie bezüglich der Konvergenz.

Frage: Warum bekomme ich den Beweis für n-1 aber nicht für n+1?

29.10.2007, 12:35

klarsoweit

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Da du hier in Hochschule postest, kannst du dir die Frage selber beantworten.

Ich könnte auch sagen: weil es eben so ist.

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