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25.10.2007, 19:47	choseN	Auf diesen Beitrag antworten »
Komposition Hi, erstmal die Aufgabe. Gegeben seien f:R-->R , x--> 1 + x² und h:R-->R , x--> 1 + x³ . Gibt es eine Funktion g mit h = g kringel f? Also müsste gelten: 1 + x³ = g(1 + x²) . Ich vermute, dass es eine solche Funktion gar nicht gibt. 1. weiß ich nicht, wie ich das mathematisch zeige und 2. weiß ich nicht, ob ich sicher liege. Zumindest gibt es keine (für mich) offensichtliche Lösung.
25.10.2007, 20:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie steht es mit der Geradheit der Funktion $\begin{eqnarray} x \mapsto g \left( 1 + x^2 \right) \end{eqnarray}$ bei ansonsten beliebigem $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , das jedoch mindestens im Intervall $\begin{eqnarray} [1,\infty) \end{eqnarray}$ definiert ist. Und $\begin{eqnarray} h(x) \end{eqnarray}$ ?
25.10.2007, 20:21	choseN	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff "Geradheit" ist mir nicht geläufig. Google hat mich nicht weiter gebracht und im Buch steht auch nichts davon :S
25.10.2007, 20:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ heißt gerade, wenn ihr Definitionsbereich $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ symmetrisch zum Nullpunkt liegt und $\begin{eqnarray} F(-x) = F(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in D \end{eqnarray}$ gilt, wenn also, eher geometrisch gesprochen, der Graph der Funktion symmetrisch zur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse ist.
25.10.2007, 20:37	choseN	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann scheint h(x) wohl ungerade zu sein. f(x) ist dann gerade. Aber ich weiß nicht wie ich das "mit der Geradheit der Funktion x-->g(1+x²) bei ansonsten beliebigem g , das jedoch mindestens im Intervall [1,unendlich[ definiert ist" betrachten soll.
25.10.2007, 21:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist nicht ungerade, es ist aber auf jeden Fall nicht gerade - und das genügt! Dagegen ist die Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(x) = g \left( 1 + x^2 \right) \end{eqnarray}$ mit jedem zulässigen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ gerade.
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25.10.2007, 21:05	choseN	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ich hatte angenommen, wenn sie nicht gerade ist, ist sie automatisch ungerade Ich kenne ja das Kriterium dafür nicht. Kannst du mir kurz ein Beispiel geben, dass g(1+x²) gerade bleibt? also wie ich das formal einsetze (nur für mich zum verständnis).
25.10.2007, 21:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kriterium findest du z.B. hier.
25.10.2007, 21:09	choseN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hab gefunden. Noch eine letzte Frage, wieso ist das Intervall für g [1,unendlich[?
25.10.2007, 21:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1 + x^2 \geq 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Wenn jetzt z.B. $\begin{eqnarray} g(x) = \sqrt{x-2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \geq 2 \end{eqnarray}$ wäre, wie wolltest du dann z.B. $\begin{eqnarray} F(-0{,}5) \end{eqnarray}$ berechnen ( $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ wie in meinem vorigen Beitrag)?
25.10.2007, 22:17	choseN	Auf diesen Beitrag antworten »
Na logo, da wollte der Groschen nur pfennigweise fallen Danke, hast mir sehr geholfen, nicht nur bei der Aufgabe, sondern für mein ganzes Verständnis des Aufgabentyps.
29.10.2007, 20:07	student07	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kurze Frage: Müsste g: x--> 1 + (sqrt(x - 1))³ nicht eine Lösung sein? Denn für x f: x--> 1 + x² eingesetzt liefert doch: h: x--> 1+ (sqrt(1 + x² - 1))³ = 1 + (sqrt(x²))³ = 1 + x³ . Das ist ja gerade h. Oder nicht?

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