Komplexe Zahlen - eine Aufgabe

25.10.2007, 22:08

steka

Komplexe Zahlen - eine Aufgabe

Hi !

In meinem Übungsskript steht folgende Aufgabe:

Nennen sie alle Zahlen z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C, für die gilt z* $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ =1

Achtung, das vektor z soll z quer bedeuten, wusste nicht wie ich das mache.

Wenn ich das aufstelle erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (a+bi)*(a-bi)=1 \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} a²-b²*i²=1 \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} a²+b²=1 \end{eqnarray*}$

wie gehts weiter ? ist das überhaupt der richtige Ansatz ?

25.10.2007, 22:12

Calvin

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Der Ansatz ist richtig. Weißt du, was das für eine geometrische Figur in der komplexen Zahlenebene ist? Dann hast du eine anschauliche Lösung.

Alternativ kannst du die Gleichung nach a oder b auflösen. Dann sieht es aber nicht mehr so schön aus Augenzwinkern

25.10.2007, 22:14

steka

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Zitat:

Original von Calvin
Der Ansatz ist richtig. Weißt du, was das für eine geometrische Figur in der komplexen Zahlenebene ist? Dann hast du eine anschauliche Lösung.

Alternativ kannst du die Gleichung nach a oder b auflösen. Dann sieht es aber nicht mehr so schön aus Augenzwinkern

ne, hab ich keine ahnung von unglücklich

bitte erklärs mir wenns geht.

wenn ichs nach a oder b auflöse erhalte ich ja z.b. $\begin{eqnarray*} a = \sqrt{1-b²} \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann einsetze erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 1-b²+b²=1 \end{eqnarray*}$
also am Ende $\begin{eqnarray*} 1 =1 \end{eqnarray*}$

oder hab ich mich verhaun ?

25.10.2007, 22:27

Calvin

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Du hast eine Gleichung mit zwei Variablen. Das läßt sich nicht eindeutig auflösen. Deshalb bist du mit $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{1-b^2} \end{eqnarray*}$ schon so gut wie am Ende. Du musst nur beim Wurzelziehen beachten, dass du zwei Lösungen kriegst. Stichwort: $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Dadurch, dass du es wieder eingesetzt hast, hast du nur die Bestätigung bekommen, dass du keinen Rechenfehler gemacht hast Augenzwinkern

Zur geometrischen Deutung: Die Gleichung $\begin{eqnarray*} (x-m_x)^2+(y-m_y)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M(m_x/m_y) \end{eqnarray*}$ und dem Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Kannst du das auf deine Gleichung übertragen?

26.10.2007, 12:30

steka

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Zitat:

Original von Calvin

Zur geometrischen Deutung: Die Gleichung $\begin{eqnarray*} (x-m_x)^2+(y-m_y)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M(m_x/m_y) \end{eqnarray*}$ und dem Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Kannst du das auf deine Gleichung übertragen?

Tut mir Leid, beim besten Willen nicht Augenzwinkern

Vielen Dank jedoch für deine Bemühungen soweit, ich hab erst morgen wieder Zeit mich da richtig reinzuhängen.

26.10.2007, 17:25

Calvin

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Na komm, das kriegst du hin. Wenn ich in der allgemeinen Kreisgleichung den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M(0/0) \end{eqnarray*}$ und den Radius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ setze, erhalte ich die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ . Das ist ja (von den Buchstaben mal abgesehen) deine Gleichung von oben.

In deiner Gleichung ist a der Realteil einer komplexen Zahl. In der komplexen Zahlenebene entspricht das also der horizontalen Richtung (x). Das b ist der Imaginärteil einer komplexen Zahl. Das ist also die senkrechte Richtung (y).

Deine Gleichung beschreibt also in der komplexen Zahlenebene einen Kreis mit dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M(0/0) \end{eqnarray*}$ und Radius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$

Solche Sachen sollte man sich merken. Die können das Leben oft leichter machen Augenzwinkern

26.10.2007, 19:42

steka

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Oh je... Ich wünschte, unser Mathe Prof könnte das so gut erklären wie du. Jetzt hab ich von der grafischen Anschauung auch eine Vorstellung.
Aber: wie drücke ich das Ergebnis aus ? Die Aufgabe war ja alle komplexen Zahlen z zu nennen, für die z * z quer = 1 ergibt.

26.10.2007, 19:55

Leopold

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Hattet ihr noch nicht die Gleichung $\begin{eqnarray*} z \bar{z} = |z|^2 \end{eqnarray*}$ ? Denn dann hast du ja sofort

$\begin{eqnarray*} z \bar{z} = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |z|^2 = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ |z| = 1 \end{eqnarray*}$

Die letzte Äquivalenz ist korrekt, weil die reelle Zahl $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Und jetzt mußt du doch nur Algebra in Geometrie übersetzen:

$\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ bedeutet geometrisch: Abstand der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ vom Ursprung. Dann heißt $\begin{eqnarray*} |z| = 1 \end{eqnarray*}$ : Der Abstand der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ vom Ursprung ist gleich 1. Das ist aber genau für alle komplexen Zahlen des Einheitskreises der Fall.

26.10.2007, 20:02

steka

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genial, so erläutert versteht man es wirklich gut.

Nein, wir hatten dieses Beispiel noch nicht. Ich lerne ein wenig voraus, weil ich mich in Mathe schon immer ein wenig schwerer getan habe, das aber nun durch Ehrgeiz versuche auszugleichen Augenzwinkern

Im Skript habe ich eine solche Erläuterung aber leider nicht gefunden.

Aber dennoch, wie formuliere ich dann das Ergebnis ?
Etwa
$\begin{eqnarray*} {z \in C : \mid z\mid = 1} \end{eqnarray*}$ somit habe ich doch quasi die "fläche des kreises" abgedeckt.

26.10.2007, 22:37

Leopold

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Von Fläche keine Spur (dann müßte es $\begin{eqnarray*} |z| \leq 1 \end{eqnarray*}$ heißen). Nein, es ist nur der Kreisrand.

27.10.2007, 15:53

steka

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Zitat:

Original von Leopold
Von Fläche keine Spur (dann müßte es $\begin{eqnarray*} |z| \leq 1 \end{eqnarray*}$ heißen). Nein, es ist nur der Kreisrand.

Ah ja, stimmt !

mhhh... $\begin{eqnarray*} u = 2*r*\pi \end{eqnarray*}$

Also müsste es vielleicht sein, dass $\begin{eqnarray*} z = 2 * 1*\pi \end{eqnarray*}$ ?

Was das Ergebnis bedeutet, weiss ich nun, denke ich Augenzwinkern

Zur Sicherheit gebe ich es nochmal wieder:
$\begin{eqnarray*} z*\bar {z}=1 \end{eqnarray*}$ beschreibt also einen Kreis um den Mittelpunk M(0/0) mit dem Radius eins.
Demnach müssen in der Lösungsmenge alle komplexen Zahlen z sein, deren Realteil und Imaginärteil einen Vektor mit der Länge 1 um den Mittelpunkt beschreiben.

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