beweis mit 17x+4y

25.10.2007, 23:04

Mr. Niceguy

beweis mit 17x+4y

hallo,
zerbreche mir schon die ganze zeit denk kopf: warum kann man alle ganzen zahlen durch 17x-4y darstellen? mir fällt da einfach kein vernünftiger ansatz ein...
ich hoffe ich bin damit im richtigen forum gelandet und jemand kann mir das brett vor meinem kopf entfernen smile

danke schon mal!

25.10.2007, 23:05

Mr. Niceguy

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RE: beweis mit 14x+4y
sorry, habe mich im titel vertippt, das muss natürlich 17x+4y heißen.

26.10.2007, 08:02

Airblader

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Kannst du die Aufgabe vllt. genauer formulieren?
Woraus stammen x und y?

air

26.10.2007, 08:56

sqrt4

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Ich nehme mal an, dass $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Du musst zeigen, dass es $\begin{eqnarray*} x_1,y_1 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} 17x_1+4y_1=1 \end{eqnarray*}$
Dann ist es nämlich auch klar, dass du alle ganzen Zahlen darstellen kannst. Warum?

26.10.2007, 11:18

Mr. Niceguy

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RE: beweis mit 14x+4y
oh sorry, aber hatte mir das gestern schon so oft vorgekaut, dass es schon alles selbstverständlich schien smile

also, x, y sind natürlich, wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ schon sagte, aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$
also erst mal vielen dank für die antworten!

@ sqrt4
warum das klar ist weiß ich leider nicht, mir ist es nämlich nicht ganz klar smile

ist es vielleicht wegen der linearität? also daran, dass ich eine lineare funktion kriege wenn ich den term nach y umforme? aber warum bedeutet es dann, dass ich auch alle anderen natürlichen zahlen damit darstellen kann? oder ist das irgendwie induktiv?

und ein weiterer aufgabenteil wäre dann die frage:
warum lässt sich die zahl 47 nicht mit $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb N + {0} \end{eqnarray*}$ darstellen, 48 aber wohl und alle zahlen >48 auch auch? da fällt mir dann gar nichts mehr zu ein...

26.10.2007, 11:27

Mr. Niceguy

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RE: beweis mit 14x+4y
oh, ich glaube, ich habe mir die erste frage schon selber beantwaortet:
da es sich um eine lineare funktion handelt, heißt es, dass wenn man diese funktion auf 1 abbilden auch auf alle anderen natürlichen zahlen abbilden kann, da sie ja linear ist. sehe ich das richtig? finde meine begründung zwar etwas schwammig aber durchaus nachvollziehbar.... oder? verwirrt

26.10.2007, 11:35

klarsoweit

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RE: beweis mit 14x+4y
Um es etwas mathematischer zu formulieren:

Wenn du eine ganzzahlige Lösung für $\begin{eqnarray*} 17x_1+4y_1=1 \end{eqnarray*}$ hast, dann auch für $\begin{eqnarray*} 17x_2 + 4y_2 =a \end{eqnarray*}$ mit einem ganzzahligen a. Du brauchst ja nur die 1. Gleichung mit a zu multiplizieren und kannst dann sagen wie x_2 und y_2 zu wählen sind.

26.10.2007, 12:00

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Zitat:

Original von Mr. Niceguy
und ein weiterer aufgabenteil wäre dann die frage:
warum lässt sich die zahl 47 nicht mit $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb N + {0} \end{eqnarray*}$ darstellen, 48 aber wohl und alle zahlen >48 auch auch?

Das ist ein Spezialfall folgender allgemeineren Aussage:

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ teilerfremde positive ganze Zahlen. Dann ist $\begin{eqnarray*} n_0=ab-a-b \end{eqnarray*}$ die größte ganze Zahl, die sich nicht in der Form $\begin{eqnarray*} ax+by \end{eqnarray*}$ mit natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

Die natürlichen Zahlen sind hier inklusive Null zu verstehen.

26.10.2007, 12:57

Mr. Niceguy

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RE: beweis mit 14x+4y
vielen dank, ich denke den ersten aufgabenteil habe ich jetzt verstanden smile

@Arthur Dent
wodurch ist diese aussage begründet...? mir ist auch nicht ganz klar, was genau die 0 damit zu tun hat.

26.10.2007, 13:40

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RE: beweis mit 14x+4y

Zitat:

Original von Mr. Niceguy
wodurch ist diese aussage begründet...?

Wenn ich das jetzt schon hinschreibe, habe ich ja die Aufgabe für dich erledigt. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mr. Niceguy
mir ist auch nicht ganz klar, was genau die 0 damit zu tun hat.

Herrje, das war doch nur zur Absicherung gedacht, dass eben hier die Null mit zu den natürlichen Zahlen gehört. Mitunter wird das nämlich anders gesehen, und diese Missverständnisse wollte ich vermeiden!!!

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