Richtungsvektor der Schnittgeraden zweier Ebenen

26.10.2007, 14:15

co0kie

Richtungsvektor der Schnittgeraden zweier Ebenen

Hallo, hänge an folgender Aufgabe:

Zitat:

Gegeben sind zwei Ebenen durch die Gleichungen
(1) $\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=a_4 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3=b_4 \end{eqnarray*}$

Zeige: Falls die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht parallel sind, so ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Richtungsvektor der Schnittgeraden der beiden Ebenen.

Wie macht man denn sowas? Also Richtungsvektor heißt ja auf jeden Fall, dass die Schnittgerade in der Parameterdarstellung dargestellt werden muss. Dazu würde ich die Ebenen in Parameterform gleichsetzen, allerdings komme ich von der Koordinatenform auf die Parameterform. Hat jemand einen Tipp?

26.10.2007, 14:45

riwe

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RE: Richtungsvektor der Schnittgeraden zweier Ebenen
kennst du schon das kreuzprodukt verwirrt

26.10.2007, 15:14

co0kie

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Jein.

Ist Kreuzprodukt nicht die Länge der Vektoren mal dem cosinus des Winkels zwischen den Vektoren?

26.10.2007, 15:37

inf1nity

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Nein, das wäre das Skalarprodukt.
Das Kreuzprodukt findest du hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Gruß inf1nity

26.10.2007, 16:32

riwe

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Zitat:

Original von co0kie
Jein.

Ist Kreuzprodukt nicht die Länge der Vektoren mal dem cosinus des Winkels zwischen den Vektoren?

jein ist übertrieben unglücklich

wenn du das vektorprodukt noch nicht kennst, mußt du halt die schnittgerade der beiden ebenen bestimmen, bzw. deren richtungsvektor.

dazu gehst du so vor:
da die beiden normalvektoren nicht parallel sind,....., kann man ..so wählen, dass der unten auftauchende nenner $\begin{eqnarray*} N\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} 1) a_1b_2x_1+a_2b_2x_2+a_3b_2x_3=..... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) a_2b_1x_1+a_2b_2x_2+a_2b_3x_3=..... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1) - (2) \quad{ }x_1=t\to x_3=\frac{a_1b_2-a_2b_1}{N}\cdot t \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} N=a_2b_3-a_3b_2 \end{eqnarray*}$

der rest gehört wieder dir unglücklich

mit dem kreuzprodukt findet man einen vektor, der senkrecht auf die beiden normalvektoren der ebene steht, also beiden ebenen gemeinsam ist, der rest folgt aus der definition.

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