Beweise durch vollständige Induktion

26.10.2007, 16:04

chipbit

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Beweise durch vollständige Induktion

Hallo, ich hab nen Problem mit folgenden Aufgaben:
Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
i) 3 teilt $\begin{eqnarray*} (n^3-n) \end{eqnarray*}$ , d.h. zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine natürlich Zahl $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 3k_n = (n^3 -n) \end{eqnarray*}$ .

ii) $\begin{eqnarray*} \sum_{\nu=1}^n \nu^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} N) \end{eqnarray*}$

an sich dachte ich immer das ich das Prinzip der vollständigen Induktion langsam mal verstanden habe, aber anscheinend nur bei leichten Aufgaben die ich nur reproduzieren muss... zumindest weiß ich bei denen jetzt grad nicht gescheit weiter. Hoffe es kann mir jemand helfen.

26.10.2007, 16:14

sqrt4

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Naja aber den Induktionsanfang wirst du wohl noch hinbringen oder?

26.10.2007, 16:42

chipbit

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also bei ii) IA: für n=1 : $\begin{eqnarray*} 1^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {1(1+1)(2*1+1)}{6} \end{eqnarray*}$
1 = 1 ist wahr

IS: $\begin{eqnarray*} n \longrightarrow (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{ \nu =1}^{n+1} \nu^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{\nu =1}^{n} \nu^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +(n+1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \underset {n.V.}{=} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +(n+1) \end{eqnarray*}$

26.10.2007, 16:43

chipbit

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bei i) komm ich mit diesem $\begin{eqnarray*} 3k_n \end{eqnarray*}$ nicht so richtig klar

kann man da einfach schreiben $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {(n^3-n)}{3} \end{eqnarray*}$ ?

dann wäre für n=0: $\begin{eqnarray*} k_0= 0 \end{eqnarray*}$

26.10.2007, 17:25

vektorraum

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Können wir erst einen Beweis zu Ende bringen??? Kommen wir zurück auf den Beweis mit der Summe von $\begin{eqnarray*} v^2 \end{eqnarray*}$ .

Du hast deine Summe falsch aufgespalten. Was passiert denn wenn du n+1 einsetzt???

Dh. schreibe bitte nochmal auf, was hier hinkommt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}v^k=\ldots \end{eqnarray*}$

26.10.2007, 18:09

chipbit

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klar!

= $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

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26.10.2007, 18:19

vektorraum

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Du hast mich missverstanden. Fangen wir mal von vorne an:

Induktionsvoraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: klar

Induktionsschritt:

Dazu haben wir zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}=\cfrac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Wir versuchen also jetzt durch Umformungen und das Einsetzen der Induktionsvoraussetzung von der linken auf die rechte Seite zu kommen. Los gehts:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}=\ldots \end{eqnarray*}$

1) Versuche jetzt bitte nochmal die Summe umzuformen

2) Setze die Induktionsvoraussetzung ein.

26.10.2007, 18:33

chipbit

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$\begin{eqnarray*} \sum_{ \nu =1}^{n+1} \nu^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{\nu =1}^{n} \nu^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +(n+1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \underset {n.V.}{=} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

??? oder bin ich jetzt echt zu blöd?

26.10.2007, 19:04

vektorraum

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Zitat:

Original von chipbit
$\begin{eqnarray*} \sum_{ \nu =1}^{n+1} \nu^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{\nu =1}^{n} \nu^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +(n+1) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \underset {n.V.}{=} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$

??? oder bin ich jetzt echt zu blöd?

Weiß ich nicht, aber jedenfalls stimmt das so nicht. Du hast doch, wenn ich das mal ausschreibe

$\begin{eqnarray*} \sum_{ \nu =1}^{n+1} \nu^2=1^2+2^2+3^2+4^2+\ldots+n^2+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Was bleibt also übrig, wenn du jetzt deine Summe nur bis n laufen lässt? Jedenfalls nicht dein von dir angebotenes (n+1).

27.10.2007, 17:36

chipbit

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$\begin{eqnarray*} \sum_{\nu =1} ^n \nu ^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ?? ich hab grad echt keinen Plan mehr....

27.10.2007, 17:42

klarsoweit

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Ja. Im ganzen Satz heißt das:

$\begin{eqnarray*} \sum_{\nu =1}^{n+1} \nu ^2 = \sum_{\nu =1}^{n} \nu ^2 + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Ja dieses Summensymbol sollte man sich wirklich verinnerlichen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2007, 17:58

chipbit

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ah okay.... Finger1

Finger1

hab ich mich ja echt blöd angestellt...

27.10.2007, 18:01

vektorraum

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Na dann packs jetzt an und mache dein Induktionsbeweis weiter. Wenn du magst, poste deine letzten Rechenschritte noch online. Im Prinzip jetzt noch IV einsetzen, dann umformen. Schau nochmal mein Post, was zu zeigen war.

27.10.2007, 18:34

chipbit

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$\begin{eqnarray*} \sum_{\nu =1}^{n+1} \nu ^2 = \sum_{\nu =1}^{n} \nu ^2 + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac {n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \frac {6(n+1)^2}{6} \end{eqnarray*}$
wenn man das jetzt ausrechnet würde ein Ausdruck in der Form $\begin{eqnarray*} \frac {2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$ rauskommen was ja eben $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{eqnarray*}$ ist.... damit wäre das ganze dann also bewiesen...
gibts da ne bestimmte Form wie man das hinschreiben muss?

27.10.2007, 18:52

vektorraum

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Du musst kennzeichnen, wo du deine IV eingesetzt hast, etwa in der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{\nu =1}^{n+1} \nu ^2 = \sum_{\nu =1}^{n} \nu ^2 + (n+1)^2\stackrel{\text{IV}}{=}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+ (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Das umzuformen ist möglich durch ausklammern

$\begin{eqnarray*} =\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}+ \frac {6(n+1)^2}{6}=\frac {n(n+1)(2n+1)+ 6(n+1)^2}{6} \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ . Dann könnte man auch noch umformen.

Wenn du das so wie du machst, ist es auch okay. Ich würde die zu zeigen Zeile dann aber auf der rechten Seite auch irgendwie so umschreiben, dass auch dann das wie bei deinem Induktionsschritt rauskommt.

Man schreibt dann meistens noch hin: damit gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die Aussage ...

27.10.2007, 18:59

chipbit

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okay danke Freude

Freude

28.10.2007, 15:43

chipbit

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und die zweite???
Okay, die eine Aufgabe hab ich dann also jetzt fertig, kann mir denn trotzdem noch jemand bei der zweiten helfen??
also, ich denke durch meinen Ansatz:
IA: $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {(n^3-n)}{3} \end{eqnarray*}$
dann wäre für n=0: $\begin{eqnarray*} k_0= 0 \end{eqnarray*}$

denn ich ja anfangs schon gab, habe ich ja gezeigt das $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl ist die durch drei teilbar ist....jetzt müsste ich ja zeigen, dass das für alle natürlichen Zahlen gilt, oder? Da hab ich aber mit dem umstellen irgendwie Probleme und wie ich das Ganze hinschreiben muss bzw. was daran dann überhaupt der Beweis ist:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^3 - (n+1) \end{eqnarray*}$

28.10.2007, 16:13

klarsoweit

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RE: und die zweite???
Du mußt jetzt zeigen:
Wenn n³ - n durch 3 teilbar ist, dann ist auch (n+1)³ - (n+1) durch 3 teilbar.

28.10.2007, 16:13

sqrt4

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Naja schreib mal $\begin{eqnarray*} (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 \end{eqnarray*}$

Davon ziehst du jetzt (n+1) ab versuchst die Induktionsvoraussetzung anzuwenden..

28.10.2007, 16:29

chipbit

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okay, dann komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} n^3+3n^2+2n \end{eqnarray*}$ wenn ich das jetzt umforme komm ich auf:
$\begin{eqnarray*} n^3-n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +3n^2+3n \end{eqnarray*}$ ...das $\begin{eqnarray*} n^3-n \end{eqnarray*}$ durch 3 teilbar ist weiß ich ja schon, der Term $\begin{eqnarray*} 3n^2+3n \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls durch 3 teilbar, da ja in beiden Komponenten eine 3 drin vorkommt...aber wie schreibe ich das am Besten auf? Oder würdest du das anders machen?

28.10.2007, 16:49

sqrt4

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passt eigentlich. Naja ich würd vllt eher schreiben "wegen der Induktionsv. gilt ..." nicht "durch 3 teilbar weiß ich ja schon"

Ansonsten passts.

28.10.2007, 17:07

chipbit

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schon klar!
Danke für die Hilfe!!!

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