Beweise durch vollständige Induktion

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chipbit Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise durch vollständige Induktion
Hallo, ich hab nen Problem mit folgenden Aufgaben:
Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
i) 3 teilt , d.h. zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine natürlich Zahl mit .

ii) =

an sich dachte ich immer das ich das Prinzip der vollständigen Induktion langsam mal verstanden habe, aber anscheinend nur bei leichten Aufgaben die ich nur reproduzieren muss... zumindest weiß ich bei denen jetzt grad nicht gescheit weiter. Hoffe es kann mir jemand helfen.
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja aber den Induktionsanfang wirst du wohl noch hinbringen oder?
 
 
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »

also bei ii) IA: für n=1 : =
1 = 1 ist wahr

IS:

chipbit Auf diesen Beitrag antworten »

bei i) komm ich mit diesem nicht so richtig klar

kann man da einfach schreiben = ?

dann wäre für n=0:
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Können wir erst einen Beweis zu Ende bringen??? Kommen wir zurück auf den Beweis mit der Summe von .

Du hast deine Summe falsch aufgespalten. Was passiert denn wenn du n+1 einsetzt???

Dh. schreibe bitte nochmal auf, was hier hinkommt

chipbit Auf diesen Beitrag antworten »

klar!

=
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mich missverstanden. Fangen wir mal von vorne an:

Induktionsvoraussetzung:



Induktionsanfang: klar

Induktionsschritt:

Dazu haben wir zu zeigen:



Wir versuchen also jetzt durch Umformungen und das Einsetzen der Induktionsvoraussetzung von der linken auf die rechte Seite zu kommen. Los gehts:



1) Versuche jetzt bitte nochmal die Summe umzuformen

2) Setze die Induktionsvoraussetzung ein.
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »



??? oder bin ich jetzt echt zu blöd?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chipbit


??? oder bin ich jetzt echt zu blöd?


Weiß ich nicht, aber jedenfalls stimmt das so nicht. Du hast doch, wenn ich das mal ausschreibe



Was bleibt also übrig, wenn du jetzt deine Summe nur bis n laufen lässt? Jedenfalls nicht dein von dir angebotenes (n+1).
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »

?? ich hab grad echt keinen Plan mehr....
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Im ganzen Satz heißt das:



Ja dieses Summensymbol sollte man sich wirklich verinnerlichen. Augenzwinkern
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay.... Finger1 hab ich mich ja echt blöd angestellt...
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann packs jetzt an und mache dein Induktionsbeweis weiter. Wenn du magst, poste deine letzten Rechenschritte noch online. Im Prinzip jetzt noch IV einsetzen, dann umformen. Schau nochmal mein Post, was zu zeigen war.
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »


=
=
wenn man das jetzt ausrechnet würde ein Ausdruck in der Form rauskommen was ja eben ist.... damit wäre das ganze dann also bewiesen...
gibts da ne bestimmte Form wie man das hinschreiben muss?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst kennzeichnen, wo du deine IV eingesetzt hast, etwa in der Form



Das umzuformen ist möglich durch ausklammern



von . Dann könnte man auch noch umformen.

Wenn du das so wie du machst, ist es auch okay. Ich würde die zu zeigen Zeile dann aber auf der rechten Seite auch irgendwie so umschreiben, dass auch dann das wie bei deinem Induktionsschritt rauskommt.

Man schreibt dann meistens noch hin: damit gilt für alle die Aussage ...
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke Freude
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »
und die zweite???
Okay, die eine Aufgabe hab ich dann also jetzt fertig, kann mir denn trotzdem noch jemand bei der zweiten helfen??
also, ich denke durch meinen Ansatz:
IA: =
dann wäre für n=0:

denn ich ja anfangs schon gab, habe ich ja gezeigt das eine natürliche Zahl ist die durch drei teilbar ist....jetzt müsste ich ja zeigen, dass das für alle natürlichen Zahlen gilt, oder? Da hab ich aber mit dem umstellen irgendwie Probleme und wie ich das Ganze hinschreiben muss bzw. was daran dann überhaupt der Beweis ist:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: und die zweite???
Du mußt jetzt zeigen:
Wenn n³ - n durch 3 teilbar ist, dann ist auch (n+1)³ - (n+1) durch 3 teilbar.
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja schreib mal

Davon ziehst du jetzt (n+1) ab versuchst die Induktionsvoraussetzung anzuwenden..
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann komm ich auf:

wenn ich das jetzt umforme komm ich auf:
...das durch 3 teilbar ist weiß ich ja schon, der Term ist ebenfalls durch 3 teilbar, da ja in beiden Komponenten eine 3 drin vorkommt...aber wie schreibe ich das am Besten auf? Oder würdest du das anders machen?
sqrt4 Auf diesen Beitrag antworten »

passt eigentlich. Naja ich würd vllt eher schreiben "wegen der Induktionsv. gilt ..." nicht "durch 3 teilbar weiß ich ja schon"

Ansonsten passts.
chipbit Auf diesen Beitrag antworten »

schon klar!
Danke für die Hilfe!!!
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