einheitsvektor und skalarprodukt

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krystal Auf diesen Beitrag antworten »
einheitsvektor und skalarprodukt
Hallo!

1. Was ist ein Eineitsvektor? Und was hat er für eine "Funktion"?

Also was als Erklärung in meinem buch steht ist, dass der einheitsvektor den Betrag 1 hat. also ist seine Länge 1, oder wie soll man das verstehen? Aber verstehe den sinn dieses BVektoren nicht!


2.Was ist ein Skalaproddukt?

Ich weiß, dass ich einen Winkel zwischen wei Vektoren ausrechnen kann! Und die Orthogonalität! Trotzdem verstehe ich es nicht, was den diese Skalarprodukt besagen soll!

Danke im vorraus
inf1nity Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Einheitsvektor wird definiert, um einen Vektor in seinen Betrag und den Einheitsvektor zerlegen zu können.

Sinn macht das z.B. wenn du das kartesische Koordinatensystem hast.
Dann gibst du ja einen Vektor folgendermaßen an und setzt voraus, dass das Koordinatensystem bekannt ist.

Alternativ ließe sich das auch so schreiben:

wobei mit dann deine Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen sind.
z.B. ist (natürlich nur im kartesischen Koordinatensystem)

Man kann natürlich auch beliebige andere Einheitsvektoren definieren.

Allgemein gilt:

Das Skalarprodukt verwendet man z.B. in der Physik sehr häufig. Als Beispiel:
Die Arbeit ist in der Physik folgendermaßen definiert:
Annahme du stehst im Garten. Dort hast du einen Hügel mit einer Seitenfläche, die eine Gerade beschreibt. Die Kraft ist die Gravitationskraft , wobei in Richtung Himmel gerichtet ist. Da die Kraft in entgegengesetzte Richtung wirkt haben wir eben das - dabei.

Der Weg ist nun die Gerade, die deine Hügelseite beschreibt. D.h. der Winkel zwischen der Geraden und ist in diesem Fall .
Jetzt kannst du dir hoffentlich vorstellen, dass je steiler der Weg zum Hügel hoch ist, desto mehr wirst du geschwitzt und keuchend oben ankommen. Physikalisch gesehen gilt: Je kleiner (im Intervall ) ist, um so größer ist die Arbeit, die du pro infinitesimal kleinem Wegstück verrichtest (da cos(0°) = 1 und cos(90°) = 0).
Ist der Weg flach, so brauchst du "nicht viel" Arbeit pro Wegstück, dafür bist du aber auch länger unterwegs ...
Ist der Weg steil, so brauchst du "viel" Arbeit pro Wegstück, dafür bist du aber dann kürzer unterwegs.
Eigentlich ist es jedoch egal, welchen Weg du wählst, da die Arbeit um von unten nach oben zu kommen immer dieselbe ist.

Ich hoffe das war das was du gesucht hattest.


Gruß inf1nity
krystal Auf diesen Beitrag antworten »

also das skalarprodukt ist gut erklärt

Freude danke

aber das mit den einheitsvektor...soryy verstehe ich nicht traurig


Ein Einheitsvektor wird definiert, um einen Vektor in seinen Betrag und den Einheitsvektor zerlegen zu können.
???????

Könntest du mir vielleicht ein rechenbeispiel geben?
inf1nity Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir mal .
Dann ist




Jetzt geht in Richtung von , hat aber den Betrag 1.
Nun kannst du so schreiben:


Hilft das weiter?

Aber wie gesagt, helfen tut das meiner Ansicht nach eher dann, wenn du Koordinatensysteme definierst.
Schau dir doch mal Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten an.
Gib das einfach mal bei Wikipedia ein. Für jede Koordinate gibts nen Einheitsvektor.

Der Vorteil kommt dann, wenn du weißt, dass der Betrag von dem Richtungseinheitsvektor 1 ist, denn dann kannst du bei gegebenem Koordinatensystem mit den Werten der Vektoren ganz normal rechnen und brauchst nicht immer explizit den Richtungsvektor anzugeben. Würde ja auch nicht viel Sinn machen, wenn man als Betrag für den Richtungsvektor der Koordinatenachse 5 oder Wurzel(123) oder was weiß ich was nehmen würde. Und damit auch jeder andere deine Formeln nachvollziehen kann, wenn er den Richtungsvektor in z.B. x-Richtung sieht, hat man sich eben auf ne Länge davon geeinigt (=1). Stell dir vor, ein Freund von dir rechnet dieselbe Aufgabe wie du, nur hat anstatt Betrag = 1, Betrag = 500 gewählt. Wenn er jetzt den Wert für z.B. die x-Achse ausrechnet und 1 raus bekommt, dann musst du das erst umrechnen, denn bei dir wäre das dann 500.

Gruß inf1nity
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Definitionen kann man nicht verstehen, Definitionen muß man akzeptieren. (Ganz stimmt das natürlich nicht, aber ich vertrete hier einmal für den Moment den radikalen Standpunkt.) Nennen wir eine natürliche Zahl himmelblau, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung genau zwei verschiedene Primzahlen in beliebiger Häufigkeit vorkommen. Und alle anderen natürlichen Zahlen sollen erdbraun heißen. Dann sind eben

die Zahlen
6,10,12,14,15,18,20,21,22,24,... himmelblau

und die Zahlen
1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,17,19,23,25,... erdbraun

Und so nennt man einen Vektor der Länge eben Einheitsvektor. Und wenn du Lust hast, kannst du ja einen Vektor der Länge als Krystal-Vektor bezeichnen. Dann wäre eben

ein Einheitsvektor und ein Krystal-Vektor.

Natürlich hat es einen Grund, daß man Einheitsvektoren vor anderen auszeichnet. Man geht oft über Einheitsvektoren, um Vektoren auf die passende Länge zu strecken. Wenn du zum Beispiel einen Vektor der Länge 5 hast, seine Richtung nicht ändern willst, aber gerne die Länge 7 hättest, so streckst du ihn zunächst durch Multilplikation mit auf die Länge 1, womit du einen Einheitsvektor hast, und anschließend durch Multiplikation mit 7 auf die Länge 7. Insgesamt bedeutet das eine skalare Multiplikation des Vektors mit . Daneben geben Einheitsvektoren vielen Formeln ein gefälligeres Aussehen. Nimm etwa das Problem Abstand Punkt-Ebene (HNF), die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren oder die Bestimmung winkelhalbierender Ebenen.
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