Gruppen, Untergruppen

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Gerd Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen, Untergruppen
Hallo,

kann man zeigen, dass eine abelsche Gruppe der Ordnung 6 immer Untergruppen der Ordnung 2 und 3 besitzt?

Der Satz von Lagrange ist ja nicht umkehrbar, nützt mir also erstmal nicht viel und die Aussage, dass zu jedem Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe dieser Ordnung existiert gilt nur für zyklische Gruppen. Nun habe ich im Internet schon gelesen, dass abelsche Gruppen der Ordnung 6 zyklisch sein sollen - das wurde aber immer mit Hilfsmitteln gezeigt, die wir noch nicht hatten.

Also ich würde die Aussage gerne ohne die Voraussetzung "zyklisch" zeigen. Kann mir jemand dabei helfen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zumindest für die Ordnung 2 ist es meiner Meinung nach ziemlich einfach wenn du die Elemente und ihre Inversen einmal explizit aufschreibst
Gerd Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du, dass es mindestens ein Element geben muss, welches sein eigenes Inverses ist? Und das Erzeugnis dieses Elements ist die Untergruppe der Ordnung 2.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Genau daran hab ich gedacht.

Für die Ordnung 3 kann man meiner Meinung nach ähnlich argumentieren fällt mir gerade auf smile
edit: Wobei dann bei mir nicht abelsch eingeht also kann da was nicht stimmen Big Laugh
edit2: ok man kann nicht ähnlich argumentieren smile
Gerd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habs:

Angenommen, es gibt kein Element der Ordnung 3 dann gibt es also nur Elemente der Ordnung 2 und das neutrale Element der Ordnung 1. Dann betrachtet man die Menge {a,b,ab,1} mit |<a>|=|<b>|=2, was eine Untergruppe der Ordnung 4 wäre und damit ein Widerspruch zum Satz von Lagrange. Da braucht man auch die Kommutativität smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dein Beweis ist so korrekt Wink
 
 
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige die Krümelkackerei, aber imho gibts da zwei kleine Lücken, die zwar leicht zu füllen sind, aber doch wesentliche Schlüsse enthalten:

Warum gibt es kein Element der Ordnung 6? (Der Satz von Lagrange erlaubt diese, siehe etwa Z/6Z.)

Warum gibt es zwei verschiedene Elemente der Ordnung 2? (Sonst klappt dein Schluss nicht, weil deine betrachtete Untergruppe nur Ordnung 2 hat)

Außerdem ist vielleicht noch zu sagen, daß das vielleicht eine schöne Übungsaufgabe zum argumentieren auf einem Algebra-1-Übungszettel ist, aber die Aussage an sich ist völlig unbrauchbar. Es wird wunderbar die Tatsache verschleiert, daß es nur eine einzige abelsche Gruppe der Ordnung 6 gibt, nämlich Z/6Z.
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