Unterschied Integral und Fläche |
27.10.2007, 20:08 | Minze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Unterschied Integral und Fläche Ich versuche mich momentan intensiv mit der Integralrechnung zu beschaffen und stoße an manchen Stellen auf Verständnisprobleme Was ist denn der Unterschied zwischen Integral und der Fläche unter einer Funktion? Eigentlich hört sich die Frage leicht an, die Antwort ist aber schwer, da ich keine aussagekräftige Argumentationen finde. Bei der Definition des Integrales würde ich mit Begriffen wie Grenzwerte der Ober- und Untersumme arbeiten ... doch im Prinzip trifft das doch auch wieder auf den Flächeninhalt zu. Bräuchte dazu Hilfe Grüße |
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27.10.2007, 20:20 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Unterschied Integral und Fläche Hey, schau dir mal folgendes einfaches Beispiel an. Was würdest du sagen, wenn man jetzt fragt, was ist, und was würdest du sagen, wie groß der Flächeninhalt ist, der von der Funktion und der x-Achse im Intervall eingeschlossen wird??? |
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27.10.2007, 22:45 | Minze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja in beiden fällen würde ich antworten -0,99 |
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27.10.2007, 22:49 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wie kommst du darauf ? |
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27.10.2007, 22:57 | Minze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Integration von ist |
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27.10.2007, 23:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was hast du denn für einen komischen Taschenrechner? Gewisse Dinge wie das 1x1 muß man im Kopf haben. Und dazu gehört die fundamentale Erkenntnis, daß ist. Obendrein mußt du auch noch den Funktionswert der Stammfunktion an der unteren Grenze abziehen: |
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27.10.2007, 23:50 | Minze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
bei mir kommen da ganz seltsame Ergebnisse raus ... egal ... Gut, was sagt den nun der Wert aus, also was ist der Unterschied in dem Fall zwischen Integral und Flächeninhalt. Oder ist der Wert wichtig um mir das zu "verdeutlichen" ? |
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27.10.2007, 23:59 | Minze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich muss mich korrigieren ich würde bei beidem 0 antworten bzw. vielleicht kann man sagen, dass das Integral 0 ist und der Flächeninhalt ... eigentlich auch 0, aber da ist bestimmt ein trick dabei |
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28.10.2007, 00:14 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Flächeninhalt ist immer ein positiver Wert. Das Integral mißt jedoch orientierte Flächen. Soll sagen: Flächen unterhalb der x-Achse werden vom Integral negativ gerechnet. Wenn man also echte Flächeninhalte haben will, so muß man die Funktion von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und dann deren Beträge addieren. |
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28.10.2007, 00:55 | Minze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke schonmal für die Erklärung Was bedeutet das, das Integral misst orientierte Flächen ? |
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28.10.2007, 09:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da stehts:
Erinnere dich an die Einführung des Integrals mit irgendwelchen Rechtecksummen. Im wesentlichen wurde da die Summe über Ausdrücke der Form genommen. Wenn die Funktionswerte negativ sind, werden da eben negative Werte addiert. Es kommt da also auf die Orientierung (Vorzeichen) der Funktionswerte an. Würde man effektiv nur Rechteckflächen addieren, dann müßte man die Flächen unterhalb der x-Achse positiv rechnen. |
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28.10.2007, 13:18 | Minze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir wird es immernoch nicht richtig klar ... Mir fehlt dieser "Aha"-Effekt Also mal ein Beispiel : Im Intervall der Funktion soll einmal das Integral in diesem Intervall und einmal die Fläche bestimmt werden. Das Ergebnis der Fläche wäre negativ, man muss es also positiv machen. Ergebnis wäre : Beim Integral wäre es also egal ob das Ergebnis negativ ist, das Ergebnis bliebe also Ist das so richtig ? Also kann man einfach sagen, dass das Integral der Grenzwert der Summenflächen ist (Ober und Untersumme). Da die Funktionswerte in dem Intervall der Funktion negativ sind und demnach werden die Höhen Rechtecke auch negativ (hört sich eigentlich ziemlich seltsam an) Wenn der Flächeninhalt gesucht ist, muss darauf nicht geachtet werden. Es ist einfach nur die Fläche unter der Funktion gefragt, diese kann nicht negativ sein. |
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28.10.2007, 13:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vermutlich einen Taschenrechner im Modus DEG statt im richtigen Modus RAD. Eine sehr beliebte und häufige Fehlbedienung. |
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28.10.2007, 13:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mag sein, ist aber so.
Zu beachten ist einzig, daß bei stetigen Funktionen von Nullstelle zu Nullstelle integriert wird und von den Ergebnisse die Beträge genommen werden. |
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28.10.2007, 17:16 | Minze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok ich verstehe es schon besser Noch eine Frage, die etwas am Thema vorbei geht. Man hat folgende Funktion : Man soll den Flächeninhalt bestimmen, der mit der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird. (Irgendwie schaff ich es nicht, die Funktion mit diesem Programm richtig hinzubekommen) Meine Frage ist jetzt : Normalerweise würde ich jetzt von der ersten Nullstelle (liegt irgendwo bei -2,5) bis zu 0 und dann wieder von 0 bis zur zweiten Nullstelle integrieren. Mich verwundert jetzt aber, die Regel von der "Intervalladditivität" in dem Zusammenhang. Eigentlich könnte ich doch, nach besagter Regel, gleich von der ersten Nullstelle bis zur zweiten Nullstelle integrieren. Ich habe es mal ausprobiert, es kommt aber nicht dasselbe Ergebnis raus. Jetzt will ich wissen, warum man die Intervalladdivität in dem Fall nicht anwenden kann - oder verwechsel ich da einfach Jacke mit Hose EDIT: Plot angepaßt. (klarsoweit) |
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28.10.2007, 18:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie man leicht sieht, hat die Funktion auf dem 2. Intervall negative Funktionswerte. Entsprechend hat das Integral einen negativen Wert. Für die Fläche über diesem Intervall muß man davon den Betrag nehmen. Bei der Intervalladdivität würde diese Fläche mit negativem Vorzeichen eingehen. |
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