Unterschied Integral und Fläche

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Minze Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied Integral und Fläche
Hallo Leute!

Ich versuche mich momentan intensiv mit der Integralrechnung zu beschaffen und stoße an manchen Stellen auf Verständnisprobleme

Was ist denn der Unterschied zwischen Integral und der Fläche unter einer Funktion? Eigentlich hört sich die Frage leicht an, die Antwort ist aber schwer, da ich keine aussagekräftige Argumentationen finde.

Bei der Definition des Integrales würde ich mit Begriffen wie Grenzwerte der Ober- und Untersumme arbeiten ... doch im Prinzip trifft das doch auch wieder auf den Flächeninhalt zu.

Bräuchte dazu Hilfe
Grüße
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied Integral und Fläche
Hey,

schau dir mal folgendes einfaches Beispiel an.



Was würdest du sagen, wenn man jetzt fragt, was



ist,

und was würdest du sagen, wie groß der Flächeninhalt ist, der von der Funktion und der x-Achse im Intervall eingeschlossen wird???
Minze Auf diesen Beitrag antworten »

ja in beiden fällen würde ich antworten -0,99
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kommst du darauf ? verwirrt
Minze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Integration von ist

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Minze

Was hast du denn für einen komischen Taschenrechner? verwirrt
Gewisse Dinge wie das 1x1 muß man im Kopf haben. Und dazu gehört die fundamentale Erkenntnis, daß ist. smile

Obendrein mußt du auch noch den Funktionswert der Stammfunktion an der unteren Grenze abziehen:

 
 
Minze Auf diesen Beitrag antworten »

bei mir kommen da ganz seltsame Ergebnisse raus ... egal ...

Gut, was sagt den nun der Wert aus, also was ist der Unterschied in dem Fall zwischen Integral und Flächeninhalt. Oder ist der Wert wichtig um mir das zu "verdeutlichen" Augenzwinkern ?
Minze Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss mich korrigieren

ich würde bei beidem 0 antworten Big Laugh

bzw. vielleicht kann man sagen, dass das Integral 0 ist
und der Flächeninhalt ... eigentlich auch 0, aber da ist bestimmt ein trick dabei Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Der Flächeninhalt ist immer ein positiver Wert. Das Integral mißt jedoch orientierte Flächen. Soll sagen: Flächen unterhalb der x-Achse werden vom Integral negativ gerechnet. Wenn man also echte Flächeninhalte haben will, so muß man die Funktion von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und dann deren Beträge addieren.
Minze Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die Erklärung

Was bedeutet das, das Integral misst orientierte Flächen ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da stehts:
Zitat:
Original von klarsoweit
Das Integral mißt jedoch orientierte Flächen. Soll sagen: Flächen unterhalb der x-Achse werden vom Integral negativ gerechnet.

Erinnere dich an die Einführung des Integrals mit irgendwelchen Rechtecksummen. Im wesentlichen wurde da die Summe über Ausdrücke der Form genommen. Wenn die Funktionswerte negativ sind, werden da eben negative Werte addiert. Es kommt da also auf die Orientierung (Vorzeichen) der Funktionswerte an.

Würde man effektiv nur Rechteckflächen addieren, dann müßte man die Flächen unterhalb der x-Achse positiv rechnen.
Minze Auf diesen Beitrag antworten »

Mir wird es immernoch nicht richtig klar ... unglücklich Mir fehlt dieser "Aha"-Effekt

Also mal ein Beispiel :

Im Intervall der Funktion soll einmal das Integral in diesem Intervall und einmal die Fläche bestimmt werden.

Das Ergebnis der Fläche wäre negativ, man muss es also positiv machen. Ergebnis wäre :

Beim Integral wäre es also egal ob das Ergebnis negativ ist, das Ergebnis bliebe also


Ist das so richtig ?

Also kann man einfach sagen, dass das Integral der Grenzwert der Summenflächen ist (Ober und Untersumme).



Da die Funktionswerte in dem Intervall der Funktion negativ sind und demnach werden die Höhen Rechtecke auch negativ (hört sich eigentlich ziemlich seltsam an)


Wenn der Flächeninhalt gesucht ist, muss darauf nicht geachtet werden. Es ist einfach nur die Fläche unter der Funktion gefragt, diese kann nicht negativ sein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Minze

Was hast du denn für einen komischen Taschenrechner? verwirrt

Vermutlich einen Taschenrechner im Modus DEG statt im richtigen Modus RAD. Eine sehr beliebte und häufige Fehlbedienung. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Minze
Da die Funktionswerte in dem Intervall der Funktion negativ sind und demnach werden die Höhen Rechtecke auch negativ (hört sich eigentlich ziemlich seltsam an)

Mag sein, ist aber so.

Zitat:
Original von Minze
Wenn der Flächeninhalt gesucht ist, muss darauf nicht geachtet werden. Es ist einfach nur die Fläche unter der Funktion gefragt, diese kann nicht negativ sein.

Zu beachten ist einzig, daß bei stetigen Funktionen von Nullstelle zu Nullstelle integriert wird und von den Ergebnisse die Beträge genommen werden.
Minze Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich verstehe es schon besser

Noch eine Frage, die etwas am Thema vorbei geht.

Man hat folgende Funktion :



Man soll den Flächeninhalt bestimmen, der mit der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird.



(Irgendwie schaff ich es nicht, die Funktion mit diesem Programm richtig hinzubekommen)

Meine Frage ist jetzt : Normalerweise würde ich jetzt von der ersten Nullstelle (liegt irgendwo bei -2,5) bis zu 0 und dann wieder von 0 bis zur zweiten Nullstelle integrieren.

Mich verwundert jetzt aber, die Regel von der "Intervalladditivität" in dem Zusammenhang. Eigentlich könnte ich doch, nach besagter Regel, gleich von der ersten Nullstelle bis zur zweiten Nullstelle integrieren.
Ich habe es mal ausprobiert, es kommt aber nicht dasselbe Ergebnis raus.

Jetzt will ich wissen, warum man die Intervalladdivität in dem Fall nicht anwenden kann - oder verwechsel ich da einfach Jacke mit Hose Hammer

EDIT: Plot angepaßt. (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Minze
Jetzt will ich wissen, warum man die Intervalladdivität in dem Fall nicht anwenden kann - oder verwechsel ich da einfach Jacke mit Hose Hammer

Wie man leicht sieht, hat die Funktion auf dem 2. Intervall negative Funktionswerte. Entsprechend hat das Integral einen negativen Wert. Für die Fläche über diesem Intervall muß man davon den Betrag nehmen. Bei der Intervalladdivität würde diese Fläche mit negativem Vorzeichen eingehen.
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