Frage bezüglich eines Mengensystems

28.10.2007, 11:59

Gast1234

Frage bezüglich eines Mengensystems

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich eines Mengensystems. Gegeben sei das Mengensystem $\begin{eqnarray*} $\gamma = \left\{M \subseteq N \mid N \backslash M \thinspace ist \thinspace endlich \right\} \end{eqnarray*}$ . Ist damit die Potenzmenge der natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} P(N) \end{eqnarray*}$ gemeint? $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist die Menge der natürlichen Zahlen. Würde mich über eine Antwort freuen.

28.10.2007, 12:01

kiste

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Nö,

den {1} ist eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ aber nicht in $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$

28.10.2007, 12:29

Tobias

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Du kannst dir auch das klar machen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\backslash M \end{eqnarray*}$ ist endlich $\begin{eqnarray*} \iff \end{eqnarray*}$ es gibt ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \{k, k+1, k+2, \ldots\} \subseteq M \end{eqnarray*}$

28.10.2007, 12:35

Gast1234

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Danke für den Hinweis, Tobias.
Ich werde mal versuchen, damit weiterzukommen. smile

28.10.2007, 14:38

Gast1234

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Für Mengen im Mengensystem $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ sind doch auch Mengen wie $\begin{eqnarray*} M = N\backslash\left\{2,6\right\} \end{eqnarray*}$ denkbar, oder liege ich auch damit wieder falsch?

28.10.2007, 16:03

Gast1234

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Ich möchte mir dieses "Gebilde" klarmachen, weil ich zeigen soll, dass jede nichtleere Teilmenge des Mengensystems ein Supremum besitzt. Außerdem soll ich nachweisen, dass jede nach unten beschränkte Teilmenge des Mengensystems ein Infimum hat.

Danach soll ich noch die Fragen beantworten, was mit der leeren Teilmenge des Mengensystems ist (bezüglich Infimum und Supremum). Deshalb möchte ich mir dieses Mengensystem erstmal klarmachen.

Ich hoffe, dass mir da jemand einen "deutlichen" Schlag auf meine Denkkappe verpassen könnte, um mich in die richtige Richtung zu stoßen. Wink

P.S: Ich glaube, ich sollte mich mal registrieren, weil ich das Gefühl habe, dass da noch mehr Nachfragen kommen.

28.10.2007, 18:24

svrc

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Jetzt habe ich mich mal registriert und kann dann endlich Beiträge auch editieren, ohne dass gleich ein neuer Beitrag geschrieben werden muss. Augenzwinkern

Aber ich hänge immer noch an diesem Problem, mit diesem partiell geordneten Mengensystem.

Über Hilfe und Denkanregungen würde ich mich wirklich freuen. Freude

28.10.2007, 19:07

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Zitat:

Original von Gast1234
weil ich zeigen soll, dass jede nichtleere Teilmenge des Mengensystems ein Supremum besitzt. Außerdem soll ich nachweisen, dass jede nach unten beschränkte Teilmenge des Mengensystems ein Infimum hat.

Danach soll ich noch die Fragen beantworten, was mit der leeren Teilmenge des Mengensystems ist (bezüglich Infimum und Supremum).

Du betrachtest hier offenbar Supremum bzw. Infimum bzgl. der durch die Teilmengenbeziehung $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ bestehenden Halbordnung auf $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , oder? Das hättest du gleich dazu sagen sollen...

28.10.2007, 19:17

svrc

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Ich habe erstmal nicht die komplette Aufgabenstellung aufgeschrieben, weil ich mir erstmal überhaupt klarmachen wollte, was dieses Mengensystem eigentlich aussagt.

Aber Du hast die Aufgabenstellung aus meinen einzelnen Beiträgen richtig interpretiert.

Aber ich musste mir jetzt doch eingestehen, dass es nur schleppend bis gar nicht vorangeht. (Was wahrscheinlich auch daran liegt, dass ich immer noch Probleme habe, mir dieses Mengensystem vorzustellen)

Deshalb versuche ich mich jetzt nochmal langsam vorzuarbeiten.

Ich weiß, dass die Menge der natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich ist. Damit sollte ich eigentlich aus der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \backslash M \end{eqnarray*}$ endlich sein soll, schließen können, dass $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich ist, oder?

EDIT: Helfen mir dabei vielleicht folgende Sätze weiter?

a) Jede nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray*} N \subset \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ besitzt ein Minimum.
b) Jede beschränkte nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray*} N \subset \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ hat ein Maximum.

28.10.2007, 20:50

svrc

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Ich poste noch einmal die komplette Aufgabe.

Das Mengensystem $\begin{eqnarray*} \gamma = \left\{M \subseteq \mathbb{N} \mid \mathbb{N} \backslash M \thinspace ist \thinspace endlich \right\} \end{eqnarray*}$ ist bezüglich der Inklusion $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ partiell geordnet.

a) Weisen Sie nach, dass jede nichtleere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein Supremum besitzt.
b) Weisen Sie ebenso nach, dass jede nach unten beschränkte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein Infimum besitzt.
c) Hat die leere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein Infinum? Hat die leere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein Supremum?

Irgendwie sehe ich derzeit kein rettendes Ufer und ich sitze schon einige Zeit an dieser Aufgabe.

28.10.2007, 22:46

svrc

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Diese Aufgabe beschäftigt mich irgendwie.

Irgendwie habe ich das Gefühl, dass ich schon bei Teilaufgabe a) Probleme habe. Denn dort würde ich intuitiv (das sage ich einfach einmal dazu, weil ich es formal nicht begründen) eigentlich eher sagen:

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \backslash M \end{eqnarray*}$ endlich sein soll, muss $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ doch ebenfalls unbeschränkt sein, um dies zu erfüllen. Da $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist und $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , wäre $\begin{eqnarray*} sup(M) = +\infty \end{eqnarray*}$ , was eigentlich keinem Supremum entspricht.

Irgendwie widerspricht dies allerdings der Aufgabenstellung. Ich bin irgendwie ziemlich am Zweifeln, weil ich immer noch glaube, nicht verstanden zu haben, was ich tun soll. geschockt

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