Beweisansatz gesucht: Summe k(0->n) x^k

28.10.2007, 13:43	Wurstwasser	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisansatz gesucht: Summe k(0->n) x^k Hallo, ich bin lange aus Abiturmathe raus, nun stürze ich mich wieder ins studentische Vergnügen, aber habe noch Denkblockaden Ich habe den Verdacht, dass dies hier einfach ist, nur meine Blockade zu groß. Dies hier gilt es ohne vollst. Induktion zu beweisen: $\begin{eqnarray} \forall x \in \mathbb R, x \neq 1: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray}$ Nun kommen mir mehrere Gedanken, ich finde aber keinen geeigneten Ansatz. Erstens könnte man versuchen, einen Widerspruchsbeweis zu führen. Man müsste also behaupten, dass es ausser der 1 ein $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ gibt, für das obiger Bruch nicht gilt. Doch was dann? Ich habe auch mal die Summe ausgeschrieben, aber kann erstmal weiterhin keinen Ansatz finden. Kann man vielleicht den Bruch irgendwie vereinfachen? Ich kann da nichts erkennen. Vielleicht kann ja mal jemand einen Ansatz nennen, anhand dessen ich weitermachen kann. Danke Michael
28.10.2007, 13:45	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Multipliziere $\begin{eqnarray} (1-x)\cdot\sum_{k=0}^nx^k \end{eqnarray}$ einfach mal aus.
28.10.2007, 13:49	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweisansatz gesucht: Summe k(0->n) x^k $\begin{eqnarray} S_k=1+x+x²....+x^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_k\cdot(1-x)=1+....+x^{n}-x-....-x^{n+1} \end{eqnarray}$
28.10.2007, 13:56	Wurstwasser	Auf diesen Beitrag antworten »
Au Mann, was hatte ich ein Brett vorm Kopf. Habe es mit Ausmultiplizieren natürlich gelöst, in der Mitte hebt sich alles auf und man hat links nur noch $\begin{eqnarray} x^0=1 \end{eqnarray}$ und rechts eben $\begin{eqnarray} -x^{n+1} \end{eqnarray}$ übrig. Danke! Auf sowas muß ich eigentlich auch selbst kommen, nur schreckte mich das Summenzeichen ab und ich habe gar nicht bemerkt, dass ich die Gleichung wie eine Gleichung behandeln kann (also hier mit dem Nenner multiplizieren).

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