v. Induk. -komme nciht weiter

28.10.2007, 15:51

xole_X

v. Induk. -komme nciht weiter

hi
ich sitze seit längerem mit anderen vor dieser aufgabe:

$\begin{eqnarray*} n^{4}-2n^{2}+1 \end{eqnarray*}$ kann man mit allen ungeraden natürl. Zahlen n größergleich 3 durch 64 dividieren.

ungerade bedeutet für mich zuerst mal n= 2k+1

und die gleichung da oben scheint ein binom zu sein:

(n²-1)²
wenn ich hier 2k+1 einsetze...
((2k+1)²-1)²
und noch irgendwie einbringe, dass dieser term durch 64 teilbar ist, hab ich:

((2k+1)²-1)²= 64b

jetzt induktionsanfang:
A(3)
(7²-1)²=64b
b=36 A(3) stimmt also

Induktionsschritt
A(n+1) also wenn ich jetzt für k=n+1
((2*(n+1))²-1)²= 64b+p

kann man das überhaupt mit p so machen? bzw mit was kann ich denn p ersetzen? oder wie komme ich jetzt weiter?

ich könnte die beiden gleichungen gleichsetzen
((2*(n+1))²-1)²-p=((2n+1)²-1)²

und weiter ausmultiplizieren etc...und würde für p eine gleichung bekommen
aber bringt es überhaupt was?

28.10.2007, 16:17

klarsoweit

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter

Zitat:

Original von xole_X
Induktionsschritt
A(n+1) also wenn ich jetzt für k=n+1
((2*(n+1))²-1)²= 64b+p

Bei sowas blickt man doch nicht mehr durch. Entweder ersetzt du erstmal n = 2k + 1 und machst eine Induktion über k mit Schrittweite 1 (das heißt über alle k aus N) oder du machst eine Induktion über n mit Schrittweite 2 (wegen dem Startwert n=3 läuft die dann über alle ungeraden Zahlen.)

28.10.2007, 20:12

xole_X

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
ok ich ersetze mal n mit 2k+1 und mach die induktion über k...

((2k+1)²-1)²= 64b

Induktionsanfang:
k=1

((2*1+1)²-1)²=64b
((3)²-1)²=64b
(9-1)²=64b
64:64=b
1= b

Die Annahme für k=1 stimmt also.

Induktionsschritt: für (k+1)
((2*(k+1)+1)²-1)²=64b
((2k+3)²-1)²=64b

aber hier stimmt doch meine rechte seite noch nicht oder? wie binde ich denn das (k+1) auf der rechten seite ein?
soll ich die linke seite ausmultiplizieren?
oder wie gehe ich jetzt weiter vor? oder ist immer noch alles falsch?

28.10.2007, 20:32

riwe

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
da brauchst du keine induktion, auch keine vollständige unglücklich

$\begin{eqnarray*} n^{4}-2n²+1=(n²-1)² \end{eqnarray*}$

daher genügt es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} n²-1 \end{eqnarray*}$ für alle ungeraden $\begin{eqnarray*} n = 2m+1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ teilbar ist.

$\begin{eqnarray*} n²-1=(2m+1)²-1=4m(m+1) \end{eqnarray*}$

und jetzt überlege dir was zu $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} m+1 \end{eqnarray*}$

28.10.2007, 21:12

xole_X

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
hmm weiss nicht,
m * (m+1) sind ein vielfaches von 2?
m*(m+1)=2c
mir fällt dazu nichts gescheites ein...ich sehe nur. dass die multiplikation einer zahl mit dem Folgeglied im Bereich der natürlichen Zahlen immer durch 2 teilbar ist und 64 ein vielfaches von 2 ist.

und wenn ich das ganze 4 mulitipliziere das ganze auch für die 8 gilt

4*m*(m+1)=4*2c
aber wie begründe ich sowas ?

28.10.2007, 21:23

riwe

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
$\begin{eqnarray*} 1,2,3,4,......,7,8,9......1234, 1235, 1236 ... 11111112, 11111113... \end{eqnarray*}$

schau dir 2 benachbarte zahlen an,
immer noch nix verwirrt

28.10.2007, 21:34

xole_X

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
ich glaub ich bin zu dumm.
was soll ich denn aus diesen zahlen sehen?
wenn m=1 dann ist 2=m+1
wenn 2=m ist, dann ist 3=m+1

aber das meinte ich ja mit "multiplikation einer zahl mit dem folgeglied" , also seh ich nix neues.
traurig

28.10.2007, 21:40

riwe

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
wenn eine natürliche zahl ungerade ist, dann ist ihr nachfolger .... und umgekehrt,
daher.... kannst du
$\begin{eqnarray*} 4m(m+1) = 4\cdot 2\cdot k*l\quad{ } k,l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
schreiben
jetzt schon ein licht am ende des tunnels... verwirrt

nebenbei: sollst du das oder mußt du das mit VI beweisen, oder steht dir die methode frei verwirrt

mit VI:
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 4m(m+1) \mid 8 \end{eqnarray*}$
1) $\begin{eqnarray*} m= 1 \end{eqnarray*}$ ok.
2) lt. voraussetzung sei $\begin{eqnarray*} 4m(m+1)\mid 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m\to m+1 \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren und schon bist du fertig

30.10.2007, 20:21

derselbeda

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
also laut aufgabenstellung muss ich mit VI

4*(m+1)*((m+1)+1) | 8
(4m+4)*(m+2) |8

wie soll ich jetzt daraus begründen, dass das gebilde ein teiler von 8 ist?

ich kanns auch weiter ausmultiplizieren...

(4m²+8m+4m+8) |8
4m²+12m+8 | 8
4* (m²+3m+2) | 8

30.10.2007, 20:27

derselbeda

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
ich meinte nicht teiler, sondern durch 8 teilbar ist.
wenn ich eine zahl einsetze, dann seh ich das.
aber irgendwie muss ich das auch sehen

zu der anderen methode (ich würde sie gerne trotzdem verstehen)
wenn eine zahl gerade ist, dann ist ihr nachfolger ungerade? und daraus folgt was?

30.10.2007, 21:25

xole_X

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter
ich glaube ich habs...

ich fang nochmal von vorne an

n^4 - 2n² +1 = 64b
(n²-1)² = 64b

also muss
n²-1 auch durch 8 teilbar sein
n²-1 = 8b

da ich das ganze für ungerade zahlen machen soll, gilt n = 2k+1

(2k+1)²-1 = 8b

Jetzt kommt der Induktionsanfang: A(1)

(2*1+1)²-1 = 8b
3²-1= 8b
8=8b
b=1 Also stimmt A(1)

Induktionsschritt: k -> k+1
A(k+1)

(2*(k+1)+1)²-1=8b
(2k+3)²-1=8b
(2k+1)²-1+8k+8=8b

(2k+1)²-1 + 8(k+1) = 8b

(2k+1)²-1 ja laut induktionsanfang durch 8 teilbar...und 8*(k+1) ist auch ohne rest durch 8 teilbar...
ist es damit also bewiesen jetzt?

30.10.2007, 21:31

tmo

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das ist jetzt eigentlich richtig, doch formal ist das noch eine katastrophe.

du musst beim induktionsschritt mit A(k+1) anfangen und das solange umformen bis der ausdruck offensichtlich durch 8 teilbar (unter zuhilfenahme der induktionsvorraussetzung) ist.

gleichsetzen mit 8b ist falsch. denn dann könnte man denken, die beiden b's aus dem induktionsvanfang und dem induktionsschritt seien gleich.

aber solche teilbarkeitsaufgaben gehen auch oft ohne induktion:

$\begin{eqnarray*} (2k+1)^2-1 = 4k^2 + 4k = 4 \cdot k(k+1) \end{eqnarray*}$
fertig.

30.10.2007, 21:51

xole_X

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wie schreibe ich das dann bitte formal richtig?

wie verwerte ich teilbar durch 64 bzw durch 8 in eine richtige Schreibweise?

und bei deinem beispiel ohne VI...

wie lese ich daraus ab, dass die bedingung teilbar durch 64 bzw 8 erfüllt ist

31.10.2007, 08:49

klarsoweit

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RE: v. Induk. -komme nciht weiter

Zitat:

Original von xole_X
da ich das ganze für ungerade zahlen machen soll, gilt n = 2k+1

(2k+1)²-1 = 8b

Das fängt schon mal damit an, daß man Teilbarkeitsaussagen formal sauber hinschreibt, und zwar so:

(2k+1)²-1 ist durch 8 teilbar bedeutet, es gibt ein b aus N mit (2k+1)²-1 = 8b

Zitat:

Original von xole_X
Induktionsschritt: k -> k+1
A(k+1)

(2*(k+1)+1)²-1=8b
(2k+3)²-1=8b
(2k+1)²-1+8k+8=8b

(2k+1)²-1 + 8(k+1) = 8b

(2k+1)²-1 ja laut induktionsanfang durch 8 teilbar...und 8*(k+1) ist auch ohne rest durch 8 teilbar...
ist es damit also bewiesen jetzt?

Im Prinzip ja, aber auch da ist etwas Prosatext durchaus angebracht:

Die Aussage A(k+1) lautet:
(2(k+1)+1)²-1 ist durch 8 teilbar, das heißt, es gibt ein c aus N mit (2(k+1)+1)²-1 = 8c
(Ich nehme jetzt mal c, damit klar wird, daß es sich hier um einen anderen Wert handelt.)

Jetzt nehmen wir deine Umformungen:
(2*(k+1)+1)² - 1 = (2k+3)² - 1 = (2k+1)² - 1 + 8k + 8 = 8b + 8k + 8 = 8 * (b + k + 1) = 8*c
mit c := b + k + 1

Also gibt es in der Tat ein c aus N mit der gesuchten Eigenschaft.

Wie riwe schon sagte, geht es auch ohne vollständige Induktion. Die Frage ist halt, ob dieser Weg in der Aufgabe verlangt wurde.

31.10.2007, 11:38

riwe

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Zitat:

Original von tmo
das ist jetzt eigentlich richtig, doch formal ist das noch eine katastrophe.

du musst beim induktionsschritt mit A(k+1) anfangen und das solange umformen bis der ausdruck offensichtlich durch 8 teilbar (unter zuhilfenahme der induktionsvorraussetzung) ist.

gleichsetzen mit 8b ist falsch. denn dann könnte man denken, die beiden b's aus dem induktionsvanfang und dem induktionsschritt seien gleich.

aber solche teilbarkeitsaufgaben gehen auch oft ohne induktion:

$\begin{eqnarray*} (2k+1)^2-1 = 4k^2 + 4k = 4 \cdot k(k+1) \end{eqnarray*}$
fertig.

$\begin{eqnarray*} k\to m \end{eqnarray*}$

siehe beitrag 4 und 8 sic!

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