abbildung des einheitskreises |
| 28.10.2007, 18:14 | gollum | Auf diesen Beitrag antworten » |
| abbildung des einheitskreises ich habe hier eine aufgabe wie folgt: Möbiustransformation w=(z+1) / (z-1) - abbildung des einheitskreises ( möglichst ohne rechung) ich weiss dass der einheitskreis die punkten z1=1 , z2=i und z3=-1 hat, rechnerisch, würde ich die z-Punkten in meiner möbiusfunktion eingeben und gucken was da rauskommt, in dem fall nur 0 , -i und 0 , 1. frage: ist das jetzt rechnerisch richtig gemacht ? und was soll ich mir unter dem ergebniss vorsstellen? 2. frage: wie soll man die abbildung ohne rechnung finden ? habe hier nämlich noch 3 aufgaben in dieser richtung, die ich für eine mündliche prüfung lösen können sollte.. danke im vorraus |
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| 28.10.2007, 18:32 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß nicht, was du alles über Möbiustransformationen weißt. Eine in Vorlesungen häufig bewiesene oder erwähnte Tatsache ist zum Beispiel, daß sie kreistreu sind, wenn man Geraden als verallgemeinerte Kreise zuläßt, d.h. eine Gerade oder Kreis wird immer auf eine Gerade oder einen Kreis abgebildet. (Achtung: Dabei werden nicht unbedingt Kreise auf Kreise und Geraden auf Geraden abgebildet.) Die Idee mit den drei Punkten ist gut, den Satz daß jede Möbiustransformation durch die Bilder dreier Punkte festgelegt ist, scheint ihr also behandelt zu haben. Nur hast du dich verrechnet. Das hätte dir auch selber auffallen können, denn jede Möbiustransformation ist bijektiv, du hast aber zweimal denselben Bildpunkt. Im allgemeinen funktioniert das bei Geraden und Kreisen immer so. Nimm dir drei günstige Punkte, rechne die Bilder aus, und schau, was es überhaupt noch an Geraden und Kreisen gibt, die durch die drei Bildpunkte gehen. Um die Bilder allgemeinerer Objekte zu bestimmen, kannst du eventuell auch ncoh verwenden, daß du jede Möbiustransformation in eine Hintereinanderausführung von Elementartransformationen zerlegen kannst. (Siehe beispielsweise http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biustransformation) |
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| 28.10.2007, 19:18 | gollum | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke, du hast recht, ich habe nachgerechnet, die punkten wären i, 0 und -i , also wäre meine abbildung die imaginäre achse.., danke, wie könnte ich jetzt vorgehen, wenn ich nichts rechnen will, also nur anhand von überlegungen erklären müsste wie die abbildung auszusehen hat ? |
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| 28.10.2007, 19:27 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, welche Punkte setzt du nochmal ein? Ich komme auf ein anderes Ergebnis. Ganz ohne eine einzige Rechnung wird es nicht gehen, es sei denn dem Prüfer langt die Antwort, daß irgendeine Gerade oder ein Kreis rauskommt. Aber drei Punkte in eine Abbildungsvorschrift einsetzen, ist nun wirklich nix großes. Vielleicht sollst du nur vermeiden ganz allgemein das Bild eines beliebigen Kreispunktes auszurechnen, weil das ist schon deutlich umfangreicher. |
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| 28.10.2007, 19:46 | gollum | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich habe die punkten vom kreis eingesetzt, also 1, i, -1 und i und rausgekommen ist bei mir 0, -i,0 und i.... imaginäre achse also...oder? |
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| 28.10.2007, 20:50 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig, Imaginäre Achse. |
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| 28.10.2007, 21:02 | gollum | Auf diesen Beitrag antworten » |
habe jetzt eine andere rechnung gemacht selbes problem abbildung eines einheitskreises mit der möbiustransformation w= (z+i)/(z-i) , kann es sein, dass die abbildung auch die imaginäre achse ergibt?? oder ist es was links der imaginäre achse ist? |
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| 28.10.2007, 21:14 | gollum | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich glaub das ist die reelle achse... kann das jemand bestätigen oder verwerfen?? |
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| 28.10.2007, 21:27 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
Auch die imaginäre Achse. |
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| 28.10.2007, 21:33 | gollum | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke, ich glaub ich fang an, das besser zu verstehen.. 
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| 28.10.2007, 23:47 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nur nochmal nebenbei, wenn du in deine erste Transformation den Punkt 1 einsetzt, kommt eigentlich der Punkt unendlich raus, das ist der Fehler auf den ich dich aufmerksam machen wollte. Wie gesagt kann es nicht sein, daß zwei verschiedene Punkte auf denselben Bildpunkt abgebildet werden. An der Tatsache, daß sich damit insgesamt die imaginäre Achse ergibt, ändert das aber nichts. |
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