Modulo Rechnen

28.10.2007, 19:38

chipbit

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Modulo Rechnen

Hallo, ich hab da noch eine Aufgabe mit der komme ich nicht zurecht.

Aufgabe: Hat eine natürlich Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Dezimalzerlegung $\begin{eqnarray*} n=n_0 *10^0 +n_1 *10^1 +...= \sum_{i=0} ^{\infty} n_i *10^i \end{eqnarray*}$ , dann verstehen wir unter ihrer alternierenden Quersumme die Zahl $\begin{eqnarray*} Q_a (n):= \sum_{i=0} ^{\infty} n_i (-1)^i \end{eqnarray*}$ . Für die Zahl 657 zum Beispiel ist die alternierende Quersumme $\begin{eqnarray*} 6-5+7 =8 \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, daß eine ganze Zahl genau dann durch 11 teilbar ist, wenn die alternierende Quersumme ihres Betrages durch 11 teilbar ist.
Hinweis: Rechnen Sie modulo 11.

Ich hab keine Ahnung wie das geht, vorallem mit dem modulo rechnen hab ich Probleme, kann mir das jemand vielleicht erklären??

28.10.2007, 19:54

therisen

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Grundlegend für den Beweis ist $\begin{eqnarray*} 10\equiv -1\pmod {11} \end{eqnarray*}$ und die damit verbundene Implikation $\begin{eqnarray*} 10^i \equiv (-1)^i\pmod{11} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ .

28.10.2007, 19:55

Lazarus

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Überleg doch mal was für einen Rest die Potenzen $\begin{eqnarray*} 10^i \end{eqnarray*}$ bei Division durch $\begin{eqnarray*} 11 \end{eqnarray*}$ lassen.

28.10.2007, 20:17

chipbit

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mh also bei $\begin{eqnarray*} 10^1 \end{eqnarray*}$ wär der Rest 1, bei $\begin{eqnarray*} 10^2 \end{eqnarray*}$ genauso, danach geht es los das der Rest immer $\begin{eqnarray*} 10^{i-2} \end{eqnarray*}$ ist...oder?

28.10.2007, 20:21

therisen

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Zitat:

Original von chipbit
mh also bei $\begin{eqnarray*} 10^1 \end{eqnarray*}$ wär der Rest 1

Nein, dann wäre er 10 oder äquivalent -1. Siehe mein Beitrag.

28.10.2007, 20:27

chipbit

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mh dann hab ich das mit dem Rest wohl nicht richtig verstanden...
stimmt das denn bei den anderen?

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28.10.2007, 20:35

therisen

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Die Folge der Reste lautet $\begin{eqnarray*} 1,-1,1,-1,\dots \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,1,2,3,\dots \end{eqnarray*}$ (siehe mein Beitrag oben!)

28.10.2007, 21:00

chipbit

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achso...dann hab ich das mit den Resten wohl echt grundsätzlich falsch verstanden...heißt also es wechseln immer -1 und 1, bei ansteigendem i bei $\begin{eqnarray*} (-1)^i \end{eqnarray*}$ ? Okay... und wenn ich das jetzt weiß, wie mache ich denn dann weiter? Was wäre denn jetzt modulo 11 rechnen? Oder brauch ich das nicht weiter wenn ich weiß wie die Reste aussehen??

28.10.2007, 21:31

therisen

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n(-1)^ka_k\equiv \sum_{k=0}^n a_k 10^k\stackrel{!}{\equiv} 0 \pmod{11} \end{eqnarray*}$

28.10.2007, 22:43

chipbit

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okay... war das jetzt schon der Beweis???? verwirrt

verwirrt

28.10.2007, 23:15

therisen

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Nicht ganz, aber fast. Es fehlt noch der Fall, dass die Zahl negativ ist ("...alternierende Quersumme ihres Betrages...").

28.10.2007, 23:33

chipbit

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also i soll jetzt negativ sein?

28.10.2007, 23:36

therisen

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Nein, die Zahl soll die Darstellung $\begin{eqnarray*} -\sum_{k=0}^n a_k10^k \end{eqnarray*}$ haben.

28.10.2007, 23:46

chipbit

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ah okay... kann man dann schreiben:
$\begin{eqnarray*} - \sum_{k=0}^n(-1)^ka_k\equiv - \sum_{k=0}^n a_k 10^k \stackrel{!}{\equiv} 0 \pmod{11} \end{eqnarray*}$ ??

29.10.2007, 00:00

therisen

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Im Prinzip schon. Du musst nur noch das Minus los werden. Man kann sich auch von Anfang an auf natürliche Zahlen n beschränken, denn $\begin{eqnarray*} -n \end{eqnarray*}$ ist genau dann durch 11 teilbar, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch 11 teilbar ist.

29.10.2007, 00:13

chipbit

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ah okay...aber wenn ich mir die Aufgabe so durchlese, steht zwar anfangs was von einer natürlichen Zahl n, aber bei der eigentlichen Frage wird ja von einer ganzen Zahl gesprochen....mh okay, wie bekomme ich denn das Minus weg?

29.10.2007, 00:22

therisen

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Einfach mit -1 multiplizieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2007, 00:24

chipbit

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aha....aber dann ist es doch das gleich wie vorher, oder nicht? wie schreib ich das denn dann hin?
Einfach $\begin{eqnarray*} - \sum_{k=0}^n(-1)^ka_k\equiv - \sum_{k=0}^n a_k 10^k \stackrel{!}{\equiv} 0 \pmod{11} \end{eqnarray*}$ und dann das ich das mit -1 multipliziere?

29.10.2007, 00:43

therisen

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Ja, bloß steht links die alternierende Quersumme des Betrages der Zahl (das war gesucht).

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