Äquivalenzrelation

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28.10.2007, 20:41	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Seien M,N nichtleere Mengen und $\begin{eqnarray} f: M \rightarrow N \end{eqnarray}$ eine surjektive Abbildung. i) Zeigen Sie, daß durch die Vorschrift $\begin{eqnarray} x \sim y :\leftrightarrow f(x) =f(y) \end{eqnarray}$ , für alle $\begin{eqnarray} x,y \in M \end{eqnarray}$ eine Äquvalenzrelation erklärt wird. ii) Wir bezeichnen mit $\begin{eqnarray} M \mid \sim \end{eqnarray}$ die Menge der Äquvalenzklassen bezüglich der unter i) definierten Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} \sim \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, daß dann durch $\begin{eqnarray} \tilde f :M \mid \sim \rightarrow N \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \tilde f ([m]):=f(m) \end{eqnarray}$ eine bijektive Abbildung definiert wird. Kann mir jemand bitte bitte möglichst schnell helfen? Ich hab keine Ahnung...
28.10.2007, 20:44	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, fange doch einmal an die Definition einer Äquivalenzrelation abzuarbeiten.
28.10.2007, 21:20	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
mh okay, ich versuchs mal: könnte man also sagen das für $\begin{eqnarray} x,y \in M \end{eqnarray}$ genau dann $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \end{eqnarray}$ gilt, wenn x und y zur gleichen Teilmenge gehören??
28.10.2007, 21:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie zur selben Teilmenge? Wie kommst du den darauf? $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \Leftrightarrow f(x) = f(y) \end{eqnarray}$ wenn du deine Relation jetzt mit R bezeichnen willst
28.10.2007, 21:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel zum besseren Verständnis: $\begin{eqnarray} M = \mathbb{R} \, , \ \ N = [0,\infty) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f: \ M \to N \, , \ \ x \mapsto x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist surjektiv, aber nicht bijektiv. Zum Beispiel gilt ja $\begin{eqnarray} f(-5) = f(5) = 25 \end{eqnarray}$ . Wir sagen: $\begin{eqnarray} 5 \sim -5 \end{eqnarray}$ , da die Zahlen unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dasselbe Bild haben. Da es keine weiteren Zahlen gibt, die quadriert $\begin{eqnarray} 25 \end{eqnarray}$ ergeben, haben wir schon die gesamte Äquivalenzklasse: $\begin{eqnarray} \{ 5 , -5\} \end{eqnarray}$ . Und so machen wir das mit allen Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden: Wir sperren sie in eine Äquivalenzklasse. So zerfällt $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ in Äquivalenzklassen, von denen jede zweielementig vom Typ $\begin{eqnarray} \{ a , -a \} \end{eqnarray}$ ist mit einer einzigen Ausnahme: Die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist allein mit sich in einer Äquivalenzklasse: $\begin{eqnarray} \{ 0 \} \end{eqnarray}$ . Jetzt ist $\begin{eqnarray} \mathbb{R} / \sim \end{eqnarray}$ die Menge dieser Äquivalenzklassen und $\begin{eqnarray} \bar{f} \end{eqnarray}$ ist bijektiv: $\begin{eqnarray} \{ 0 \} \mapsto 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} \} \mapsto 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \{ 8 , -8 \} \mapsto 64 \end{eqnarray}$
28.10.2007, 21:45	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
hab ich aus so nem Mathelexikon.....da is R die Relation... naja, gut... dann wohl nich...was anderes... 1) R ist reflexiv, $\begin{eqnarray} (x,x) \in R \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in M \end{eqnarray}$ ; 2) R ist symmetrisch, d.h. $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (y,x) \in R \end{eqnarray}$ 3) R ist transitiv, d.h. $\begin{eqnarray} (x,y) \in R \wedge (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R \end{eqnarray}$ also das wären die Bedingungen die für eine Relation erfüllt sein müssen....
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28.10.2007, 21:49	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann überprüfe doch diese 3 Bedingungen konkret
28.10.2007, 22:11	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
mh... keine ahnung wie ich das machen muss, wenn $\begin{eqnarray} x \sim y :\leftrightarrow f(x) =f(y) \end{eqnarray}$ sein soll... müsste ich ja z.B. für 1) $\begin{eqnarray} x \sim x \end{eqnarray}$ prüfen etc.
28.10.2007, 22:15	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, du musst es nur auch noch machen. Ich zeige dir einmal 1): $\begin{eqnarray} x \sim x \Leftrightarrow f(x) = f(x) \end{eqnarray}$ . Die rechte Seite ist immer wahr, also ist die Relation reflexiv
28.10.2007, 22:36	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
aha...okay, ich versuchs mal... 2) $\begin{eqnarray} x \sim y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y \sim x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(y)=f(x) \end{eqnarray}$ ?? 3) $\begin{eqnarray} (x \sim y) \wedge (y \sim z) \Rightarrow (x \sim z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) \sim f(y) \wedge f(y) \sim f(z) \Rightarrow f(x) \sim f(z) \end{eqnarray}$ ???
28.10.2007, 22:47	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Darstellung ist etwas komisch. 2) $\begin{eqnarray} x \sim y \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) \end{eqnarray}$ , da = symmetrisch ist gilt auch $\begin{eqnarray} f(y) = f(x) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} y \sim x \end{eqnarray}$ . Damit ist gezeigt das gilt: $\begin{eqnarray} x \sim y \Rightarrow y \sim x \end{eqnarray}$ Bei 3) hast du noch nicht einmal = benutzt. Versuche es doch noch einmal
28.10.2007, 23:03	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
wo muss man denn da nen = benutzen??? mh..okay ich guck mal....aso, ja $\begin{eqnarray} f(x)=f(y) \wedge f(y)=f(z) \Rightarrow f(x)=f(z) \end{eqnarray}$ ???
28.10.2007, 23:07	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja den es gilt: $\begin{eqnarray} f(x) = f(y) = f(z) \end{eqnarray}$ also insbesondere $\begin{eqnarray} f(x) = f(z) \end{eqnarray}$ . Du siehst das ganze war nur ausschreiben
28.10.2007, 23:09	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja...okay....bin ich dann jetzt mit i) fertig???
28.10.2007, 23:11	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja
28.10.2007, 23:27	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
super...war ja wirklich nich so schwer...das ich auf sowas immer selber nicht komme...
28.10.2007, 23:31	chipbit	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann jetzt also zu ii)
29.10.2007, 21:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, schau dir doch das Beispiel von Leopold einmal an. Versuche jetzt zu argumentieren warum die Abbildung bijektiv wird

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