System von Vektoren

29.10.2007, 07:51

mathestudi

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System von Vektoren

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, bei deren Lösung ich mir nicht sicher bin.
Logisch ist es zwar, d.h. ich verstehe das Problem, weiß aber nicht, ob ich das so schreiben kann.

Zeige: Wenn ein System von Vektoren einen Vektor zweimal enthält, ist es linear abhängig.

Lösung:

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist ein allgemeiner Vektor: $\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Da die beiden Vektoren gleich sein sollen, ist auch der zweite Vektor $\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
D.h. es gilt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \Leftrightarrow v = v \end{eqnarray*}$ .
Der Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ lässt sich als Linearkombination des Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ darstellen $\begin{eqnarray*} (v = v) \end{eqnarray*}$ , da die beiden Vektoren identisch sind.
Somit ist ein System, das diese beiden gleichen Vektoren enthält linear abhänig.
q.e.d.

29.10.2007, 09:04

klarsoweit

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RE: System von Vektoren
Die zugrunde liegende Idee ist ok, allerdings mangelt es mir an der formal korrekten Ausgestaltung des Beweises. Ein System von Vektoren bedeutet doch, daß du k Vektoren v_1, ..., v_k hast, wobei jeder Vektor v_i aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist. v_1, ..., v_k sind also nicht die einzelnen Komponenten eines Vektors v, sondern selbst Vektoren. Weiter gibt es Indizes i und j mit v_i = v_j.

Jetzt mußt du zeigen, daß das System von Vektoren v_1, ..., v_k linear abhängig ist. Dazu solltest du dir die entsprechende Definition anschauen.

29.10.2007, 09:15

mathestudi

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wie kann ich den ein system von vektoren formal richtig darstellen?

29.10.2007, 09:18

klarsoweit

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Da würde ich mal nachschauen, welche Schreibweise ihr üblicherweise verwendet. Ich habe sie einfach aufgezählt. Zur Not kann man noch eine Klammer drum machen.

29.10.2007, 21:52

mathestudi

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ok, kann ich das dann so formulieren?

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n = \{v_k = \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}: v_i \in \mathbb R^n, \exists v_i, \end{eqnarray*}$ für das gilt $\begin{eqnarray*} v_i = v_j \} \end{eqnarray*}$

oder muss es so heißen?:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n = \{v = \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}: v_i \in \mathbb R^n, \exists v_i, \end{eqnarray*}$ für das gilt $\begin{eqnarray*} v_i = v_j \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_i = \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_j = \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_i = v_j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ lässt sich als Linearkombination des Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ darstellen $\begin{eqnarray*} (v = v) \end{eqnarray*}$ , da die beiden Vektoren identisch sind.
Somit ist ein System, das diese beiden gleichen Vektoren enthält linear abhänig.

Ist das so jetzt formal korrekt oder kann mir jemand eine korrekte schreibweise sagen?

29.10.2007, 22:30

mathestudi

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oder schreibe ich besser so:

gegeben: eine beliebige Anzahl von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_j \in V \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} j \in J \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} j_1, ..., j_n \in J \end{eqnarray*}$ .
System der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_j, j \in J) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} v_j = \begin{pmatrix} v_{j_1} \\ ... \\ v_{j_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists v_j \end{eqnarray*}$ , für das gilt $\begin{eqnarray*} v_j = v_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} v_{j_1} \\ ... \\ v_{j_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_{j_1} \\ ... \\ v_{j_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Vektor $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ lässt sich als Linearkombination des Vektors $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ darstellen $\begin{eqnarray*} (v_j = v_i) \end{eqnarray*}$ , da die beiden Vektoren identisch sind.
Somit ist ein System, das diese beiden gleichen Vektoren enthält linear abhänig.

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29.10.2007, 23:00

Poff

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Nein, korrekt ist das alles nicht, nicht die letzte Post und schon garnicht die Vorletzte.

29.10.2007, 23:03

mathestudi

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und wie mache ich das dann???

ich brauche das jetzt ganz dringend!!!

bitte hilft mir doch jemand weiter!

29.10.2007, 23:06

Leopold

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Wirf erst einmal allen Ballast ab, dessen es nicht bedarf. Wozu das ganze Koordinatenzeugs? Das ist für diese Aufgabe völlig unwichtig.

Gib doch einfach eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors an, wenn in einem System $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,\ldots,v_n \end{eqnarray*}$ von Vektoren zwei gleich sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ . Wie lautet jetzt die Linearkombination? Der Beweis ist ein Einzeiler - nein, ein Viertelzeiler!

29.10.2007, 23:09

mathestudi

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könntest du mir bitte erst mal sagen, wie ich hinschreibe, dass ich ein system von vektoren habe?

29.10.2007, 23:10

Leopold

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Hier ist die nichttriviale Darstellung des Nullvektors, wenn $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot v_1 + (-1) \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 + \ldots + 0 \cdot v_n \end{eqnarray*}$

Das war's.

29.10.2007, 23:10

mathestudi

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schreibe ich dann einfach:

gegeben: System von Vektoren $\begin{eqnarray*} v_j, j \in J \end{eqnarray*}$

??

29.10.2007, 23:13

Leopold

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Du schreibst einfach: Gegeben seien $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,\ldots,v_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ . Und wenn du einen ganz pingeligen Übungsleiter hast, darfst du noch dazu schreiben: $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ganz.

Nachfrage: Dürfen deine Systeme auch unendlich viele Vektoren enthalten?

29.10.2007, 23:15

mathestudi

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ok, ich versuche ich komplette lösung nochmal aufzuschreiben:

In einem System von Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_j, j \in J) \end{eqnarray*}$ sind zwei Vektoren gleich, also $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ .

Ein System von Vektoren ist linear abhängig, wenn sich der Nullvektor auf nichttriviale Weise darstellen lässt:
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot v_1 + (-1) \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 + \ldots + 0 \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$ .

q.e.d.

ist das jetzt formal korrekt und vollständig?

29.10.2007, 23:16

Leopold

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Darf dein System auch unendlich sein?

29.10.2007, 23:17

mathestudi

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Zitat:

Original von Leopold
Nachfrage: Dürfen deine Systeme auch unendlich viele Vektoren enthalten?

Ich weiß nicht genau. Die Aufgabe besagt nur "ein system von vektoren".
Ich vermute aber eher: nein.

29.10.2007, 23:18

Leopold

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Dann schreibe es so auf, wie ich es dir gezeigt habe. Das $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ brauchst du da nicht.

29.10.2007, 23:19

mathestudi

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Zitat:

Original von Leopold
Darf dein System auch unendlich sein?

keine Ahnung. ich kann dir nur sagen, dass das system beliebig viele vektoren enthalten kann - ist aber wahrscheinlich eher zu der anderen frage. habs eben erst gelesen.

29.10.2007, 23:21

mathestudi

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also nochmal komplett:

In einem System von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,\ldots,v_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \geq 2, n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sind zwei Vektoren gleich, also $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ .

Ein System von Vektoren ist linear abhängig, wenn sich der Nullvektor auf nichttriviale Weise darstellen lässt:
$\begin{eqnarray*} 1 \cdot v_1 + (-1) \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 + \ldots + 0 \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$ .

q.e.d.

ist es jetzt richtig?

29.10.2007, 23:26

Leopold

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Hier meine Variante, die fertig formulierte Aussage einschließlich Beweis:

Sind in einem System $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,\ldots,v_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ Vektoren zwei gleich, etwa $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$ , so ist das System linear abhängig, da $\begin{eqnarray*} 1 \cdot v_1 + (-1) \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 + \ldots + 0 \cdot v_n \end{eqnarray*}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors ist.

29.10.2007, 23:30

mathestudi

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vielen dank, hört sich sehr gut an!!!

muss ich aber nicht $\begin{eqnarray*} 1 \cdot v_1 + (-1) \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 + \ldots + 0 \cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$ schreiben?

hast du vielleicht auch ahnung, von der zweiten aufgabe, hier

insbesondere meine allerletze frage dort.

30.10.2007, 10:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathestudi
ist das jetzt formal korrekt und vollständig?

Für meine Begriffe ist das ok. Bis auf die Frage, ob das System auch unendlich viele Vektoren haben darf. Das hat aber auf das Ergebnis letztlich keinen Einfluß.

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