Stetige Inverse

29.10.2007, 14:10

*Gast*

Stetige Inverse

Hy, nach langer Zeit beschäftige ich mich nun wieder mit der Analysis und muss feststellen, dass bei mir irgendwie alles in Vergessenheit geraten ist.
Deshalb wäre es nett, wenn mir jemand ein paar Anstöße geben könnte.

Seien E,F Banachräume. Man zeige: Eine surjektive stetige lineare Abbildung phi: $\begin{eqnarray*} E\Rightarrow F \end{eqnarray*}$ besitz genau dann eine stetige Inverse, wenn inf Betrag von phi(x) kleiner 0 (Unter dem inf steht noch Betrag von x = 1).
Sorry, aber ich konnte es hier nicht besser einstellen.
Wie ihr merkt, ist mir davon auch noch einiges unbekannt, vielleicht könnte mir deshalb auch jemand erstmal erklären was genau der Inhalt ist bzw. mir jemand einen Literaturtipp geben. Bin über jede Hilfe dankbar...

29.10.2007, 17:40

WebFritzi

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RE: Stetige Inverse

Zitat:

Original von *Gast*
wenn inf Betrag von phi(x) kleiner 0 (Unter dem inf steht noch Betrag von x = 1).

Dir sollte selber klar sein, dass das gar nicht gehen kann...

Zitat:

Original von *Gast*
Sorry, aber ich konnte es hier nicht besser einstellen.

Doch, das konntest du. Benutze bitte das nächste mal den Formeleditor.

Zitat:

Original von *Gast*
Wie ihr merkt, ist mir davon auch noch einiges unbekannt, vielleicht könnte mir deshalb auch jemand erstmal erklären was genau der Inhalt ist bzw. mir jemand einen Literaturtipp geben. Bin über jede Hilfe dankbar...

Wie mir scheint, geht es dir hier um Elemente der Funktionalanalysis 1. Dazu gibt es im Netz tausende von Skripten. Ansonsten gibt es noch google und wikipedia.

31.10.2007, 19:51

Johie

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Hallo, habe die selbe Aufgabe und habe schon eine möglichen Ansatz, vielleicht hilft er ja weiter falls er richtig ist:

Sei $\begin{eqnarray*} inf \parallel \varphi (x) \parallel > 0 \end{eqnarray*}$

Beweis der " $\begin{eqnarray*} \leftarrow \end{eqnarray*}$ "
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist injektiv
Beweis: Angenommen es existiert $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi (x) = \varphi (y) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \parallel \frac{x-y}{\parallel x-y \parallel } \parallel = 1 \end{eqnarray*}$ (der Term unter dem Bruchstrich ist ungleich 0)

und

$\begin{eqnarray*} \varphi (\frac{x-y}{\parallel x-y \parallel})= \frac{\varphi (x) - \varphi (y)}{\parallel x-y \parallel} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} inf \parallel \varphi (x) \parallel =0 \end{eqnarray*}$ (Grund: da inf <= 1 ist und $\begin{eqnarray*} \varphi \geq 0 \end{eqnarray*}$
Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung des inf.

Es existiert also eine Inverse.
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ ist stetig.
Beweis: Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \parallel \varphi^{-1} (x)\parallel \leq c \parallel x\parallel \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \parallel y\parallel \leq c * \parallel \varphi y\parallel \leq c* \parallel \varphi \parallel \parallel y\parallel \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{\parallel \varphi \parallel} \leq c \end{eqnarray*}$

Nach Vorlesung: \parallel \varphi \parallel = sup \parallel \varphi \parallel \geq inf \parallel \varphi \parallel > 0

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{\parallel \varphi \parallel} \end{eqnarray*}$ wohldefiniert.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ beschränkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig.

Wäre um eine Kontrolle dankbar! smile

Beweis der $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ :
(Hier habe ich nur einen Ansatz und brauche Hilfe...
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} \end{eqnarray*}$ linear und stetig...

Ich habe keine Ahnung wie ich das zeigen soll, kann man eventuell die obige Rechnung noch mal verwenden?
Würde mich um einen Tipp freuen,

mit freundlichen Grüßen Johie

01.11.2007, 00:42

WebFritzi

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Der Beweis der Injektivität ist OK. Allerdings hättest du auch gleich mit dem Kern argumentieren können. Dann ist's ein Einzeiler. Den Beweis der Stetigkeit der Umkehrung dagegen kann ich nicht nachvollziehen.

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