Teilmenge einer Menge von Indizes richtig darstellen

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29.10.2007, 14:14	johannes.zettl	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmenge einer Menge von Indizes richtig darstellen Hallo zusammen, ich habe folgendes Problem: Für einen Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x}:= (x_1, \ldots , x_n) \in X_1 \times \ldots \times X_n \end{eqnarray}$ sind die Indices in der Menge $\begin{eqnarray} I = \{1, ... , n\} \end{eqnarray}$ zusammengefasst. Es sollen einige Indizes aus derm Menge I ausgewählt und in einer Menge $\begin{eqnarray} I_r \end{eqnarray}$ zusammengefasst werden. Meiner Meinung nach müsste es ausreichen, wenn man angibt: $\begin{eqnarray} I_r = \{i_1 , \ldots , i_m\} \subseteq I \end{eqnarray}$ . Mein Betreuer hat aber bedenken, dass die Elemente der Menge $\begin{eqnarray} I_r \end{eqnarray}$ nicht eindeutig bestimmt sind, und zum Beispiel mehrfach vorkommen können wie in einer Multimenge. Außerdem hat er Bedenken, dass man eine Abbildung von I auf $\begin{eqnarray} I_r \end{eqnarray}$ angeben müsste. Was haltet ihr davon. Danke im Voraus Johannes
29.10.2007, 15:17	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh das komplette Problem nicht. Erstmal ist es in einer Menge nicht schlimm, wenn man Elemente doppelt in ihrer Deklaration angibt. $\begin{eqnarray} \{1, 1, 1\} = \{1\} \end{eqnarray}$ Wenn du ein paar Indizes aus I herausnehmen sollst und in I_r zusammenfassen willst, dann reicht schon $\begin{eqnarray} I_r \subseteq I \end{eqnarray}$ . Wofür soll eine Abbildung angegeben werden? Wie lautet überhaupt die Aufgabe? Wofür ist der Vektor gut?
29.10.2007, 22:42	johannes.zettl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teilmenge einer Menge von Indizes richtig darstellen Danke für die Antwort. Eins vorneweg: Das dachte ich eigentlich auch, aber mein Praktikumsbetreuer meint, meine Notation kommt ihm "Spanisch vor". Um es genauer nachzuvollziehen, fehlte ihm aber die Zeit. Vielleicht hole ich also etwas weiter aus. Ich entwerfe gerade einen Fuzzy-Logik Operator nach dem Relger-Prinzip von Mamdani. Die Mathematik dazu ist in den beiden Originalpapers nicht besondner exakt modelliert und da der Operator in eine Dissertation einfließen soll, bin ich angehalten, da etwas nachzubessern. Ich gebe wohl jetzt am besten mal eine komprimierte Darstellung meiner bisherigen Modellierung. Zuerst die zugrundeliegende Notation: Eingangsgröße x und Ausgangsgröße y $\begin{eqnarray} \vec{x}:=(x_1, \ldots , x_n) \in X_1 \times \ldots \times X_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y}:=(y_1, \ldots , y_m) \in Y_1 \times \ldots \times Y_m \end{eqnarray}$ Indexmengen für Ein und Ausgangsgrößen: $\begin{eqnarray} I= \{1,\ldots , n\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J= \{1,\ldots , m\} \end{eqnarray}$ trapezförmige Zugehörigkeitsfunktionen: $\begin{eqnarray} \mu^{(X_i)}_{o_i}(x_i) := \ldots (o_i=1,\ldots, \alpha_i) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu^{(Y_j)}_{p_j}(y_j) := \ldots (p_j=1,\ldots, \beta_j) \end{eqnarray}$ Wertebereiche der linguistischen Variablen (+ steht hier für für die Vereinigung): $\begin{eqnarray} T(\xi_i) &:=& A_{i,1} + A_{i,2} + \ldots + A_{i,\alpha_i} \ (\forall i \in I) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T(\eta_j) &:=& B_{j,1} + B_{j,2} + \ldots + B_{j, \beta_j}\ (\forall j\in J) \end{eqnarray}$ Indizierung der Regeln $\begin{eqnarray} R_r \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} r=1, \ldots ,k \end{eqnarray}$ Teilindexmengen für die in Regel $\begin{eqnarray} R_r \end{eqnarray}$ "vorkommenden" linguistischen Variablen. Diese Mengen sind laut meinem Betreuer nicht ausreichend definiert. $\begin{eqnarray} i_r \in I_r &=& \{i_{r,1}, \ldots , i_{r,\gamma_r}\} \subseteq I \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J_r &=& \{j_r\} \subseteq J \end{eqnarray}$ Ich möchte Regeln der Form $\begin{eqnarray} <br /> \text{if } \xi_{i_{r,1}} \text{ is } A^{(o_{i_{r,1}})}_{i_{r,1}} \text{ and } \ldots \text{ and } \xi_{i_r,\gamma_r} \text{ is } A^{(o_{i_{r,\gamma_r}})}_{i_{r,\gamma_r}} \text{ then } \eta_{j_r} \text{ is } B^{(p_{j_r})}_{j_r}<br /> \end{eqnarray}$ darstellen. Dabei wird $\begin{eqnarray} A^{(o_{i_r})}_{i_{r}} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \mu^{(X_{i_r})}_{o_{i_r}} \end{eqnarray}$ zugeordnet und analog $\begin{eqnarray} B^{(p_{j_r})}_{j_{r}} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \mu^{(Y_{j_r})}_{p_{j_r}} \end{eqnarray}$ . Das Problem ist, dass nicht alle n Zugehörigkeitsfunktionen $\begin{eqnarray} \mu^{(X_{i_r})}_{o_{i_r}} \end{eqnarray}$ in einer Regel vorkommen müssen. Die Menge $\begin{eqnarray} I_r \end{eqnarray}$ soll nun also die Menge der Indices $\begin{eqnarray} i \in I \end{eqnarray}$ darstellen, die auch tatsächlich in der Regel r vorkommen. Mein Betreuer meint nun, dass in diesem Fall die $\begin{eqnarray} i_r \end{eqnarray}$ noch genauer definiert werden müssten, also z. B. durch Definition einer entsprechenden Abbildung. Leider muss ich sagen, dass auch ich die Definition der Index-Teilmengen als ausreichend erachte und eigentlich auch kein Problem sehe. Andererseits ist mein Betreuer fachlich super und wenn er Bedenken hat, nehme ich die auch ernst. Bin für jeden Tipp, wo hier ein Problem liegen könnte, dankbar. Beste Grüße Johannes
30.10.2007, 08:51	1of1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi zusammen, ich definier nochmal das Problem für Johannes. $\begin{eqnarray} I = \{ 1, \ldots, n \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I_r = \{ i_1 , \ldots, i_m \} \end{eqnarray}$ Wie man aber bereits sieht, ist $\begin{eqnarray} I_r \nsubseteq I \end{eqnarray}$ Trivialerweise, da beispielsweise i_1 nicht in 1, .., n vorkommt. Es soll aus einer Menge von Indexen {1,2,3,4} (die z.B. Fahrräder F_1, F_2, ... beschreiben) jeglich mögliche Teilmenge (vgl. Potenzmenge) gebildet und diese korrekt dargestellt / indiziert werden... Wie lautet hierbei die korrekte Notation?
30.10.2007, 11:09	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} I_r = \{i_1, \ldots, i_m\} \subseteq I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|I_r\| = m \end{eqnarray}$ . Durch $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ hat man sichergestellt, dass alle Indizes aus I kommen. $\begin{eqnarray} \|I_r\| = m \end{eqnarray}$ impliziert, dass alle Indizes $\begin{eqnarray} i_1, \ldots, i_m \end{eqnarray}$ verschieden sein müssen.
30.10.2007, 20:34	1of1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kluges Forum, nein, stimmt m.E. nicht. $\begin{eqnarray} I_r \nsubseteq I \end{eqnarray}$ , da z.B. $\begin{eqnarray} i_1 \neq 1 \end{eqnarray}$ . Erst wenn man z.B. definiert $\begin{eqnarray} i_1 \mapsto 1 \end{eqnarray}$ lässt sich sagen, dass das Bild $\begin{eqnarray} \subseteq I \end{eqnarray}$ ist. Dementsprechend ist auch die Notation der Mächtigkeit nicht korrekt. M.E. sollte man bei sowas auch mit einer Multimenge arbeiten. Frage ans Forum: korrekt, oder geht's auch einfacher?!
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30.10.2007, 20:57	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich definiere $\begin{eqnarray} I_r \end{eqnarray}$ als Teilmenge von I. Wo ist das Problem? Keiner behauptet, dass $\begin{eqnarray} i_1 = 1 \end{eqnarray}$ . Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray} i_1 \in I_r \end{eqnarray}$ und deshalb auch $\begin{eqnarray} i_1 \in I \end{eqnarray}$ .
30.10.2007, 21:29	1of1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, was du meinst ist mir schon klar - hätt ich auf den ersten Blick genauso gemacht. Ich bin jedoch skeptisch, da I fest definiert ist als $\begin{eqnarray} I = \{ 1, \ldots, n \} \end{eqnarray}$ . Da kannst du doch gar nicht definieren, dass $\begin{eqnarray} i_1 \in I \end{eqnarray}$ , da du sonst die Menge erweiterst?! Du kannst Teilmengen definieren, z.B. $\begin{eqnarray} i_T = \{1, 2, 7, n \} \end{eqnarray}$ . Wenn man einen neuen Index / eine neue Variable braucht (wie hier der Fall), muss man doch noch eine Abbildung definieren?! Erst dann kann man doch erst allgemein definieren, z.B. $\begin{eqnarray} I_r = \{i_1, \ldots, i_m \} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} I_r \mapsto I \end{eqnarray}$ ? Oder steh ich auf dem Schlauch?!?
30.10.2007, 22:54	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich verstehe dein Problem nicht. Ich schreibe doch auch $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ohne dabei $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ zu erweitern? $\begin{eqnarray} i_1 \in I \end{eqnarray}$ bedeutet schlicht: $\begin{eqnarray} i_1 \end{eqnarray}$ ist ein Element aus $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ (das nicht weiter bestimmt ist). $\begin{eqnarray} \{i_1, \ldots, i_m\} \subseteq I \end{eqnarray}$ bedeutet, dass alle $\begin{eqnarray} i_j \in I \end{eqnarray}$ sind.
31.10.2007, 10:52	1of1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt. Mein Problem ist, dass $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ja eigentlich nie allein steht, sondern immer zu einer Abbildung zugehörig ist derart $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \mapsto f(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x, f(x) \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Oder? Glaube aber mittlerweile, dass du Recht hast und man die genauere Bestimmung von z.B. i_1 i.S. einer Abbildung weglassen kann...
31.10.2007, 10:57	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, bei $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ wird x als Platzhalter für eine beliebige reelle Zahl deklariert. x ist schlicht eine beliebige Variable.
31.10.2007, 11:08	1of1	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, bin ich auch d'accord. Nur dass man ja Variablen nicht aus Jux und Dollerei definiert und damit im Anschluss etwas noch tun sollte. Deswegen dachte ich an eine nachfolgende Abbildung noch... Wenn du dir absolut sicher bist, dass $\begin{eqnarray} I_r = \{i_1, \ldots, i_m \} \subseteq I = \{ 1, \ldots, n \} \end{eqnarray}$ ohne genauere Spezifikation von I_r eine korrekte Notation ist, können wir den Thread wohl schließen...
31.10.2007, 11:11	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man will, dass die $\begin{eqnarray} i_j \end{eqnarray}$ noch paarweise verschieden sind, dann kann man das z.B. noch durch $\begin{eqnarray} \|I_r\| = m \end{eqnarray}$ ausdrücken. Damit wäre dann die Notation für mich ausreichend genau. Was sagen denn die anderen dazu?
31.10.2007, 15:26	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde die Sprechweise paarweise verschieden bzw. die Angabe $\begin{eqnarray} i_j \neq i_k \text{ für } j \neq k \end{eqnarray}$ schöner aber das ist denke ich Geschmackssache. Auf jeden Fall halte ich die Schreibweise von Tobias korrekt.
31.10.2007, 15:31	johannes.zettl	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} I_r=\{i_1, \ldots , i_m\} \subseteq I \end{eqnarray}$ war ja mein ursprünglicher Ansatz. An $\begin{eqnarray} \|I_r\| = m \end{eqnarray}$ hatte ich nicht sofort gedacht, bin aber damit einverstanden. Von meiner Seite ist das Thema dann auch erledigt. Vielen Dank für die Diskussion. Grüße Johannes

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