Sup(A+B)=SupA + SupB

29.10.2007, 16:02

bishop

Sup(A+B)=SupA + SupB

hi everyone,
Ja das Problem ist diese Beziehung zu beweisen.. Das fällt bei mir in die Kategorie "offensichtlich, aber schwer zu zeigen"
Meine einzige Idee wäre es zwei Folgen zu konstruieren, die monoton steigend sind und jedes Element von A und B enthalten. Und dann wäre die Idee das ganze auf die Grenzwertsätze umzuleiten, da limA+limB= lim(A+B)
Das Problem hier ist allerdings, dass ich diese Beziehung stets als Gesetz kannte, und nie einen Beweis dafür gesehen habe...

Kann mir wer einen Tipp geben, oder soll ich doch entgegen aller Hoffnung mit den Mengenaxiomen rumjonglieren?

gruß, bishop

29.10.2007, 16:09

Orakel

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RE: Sup(A+B)=SupA + SupB
zeige zunächst einmal, dass sup A + sup B EINE obere schranke für die menge A+B ist. danach musst du ein wenig mit epsilons jonglieren, um die supremumseigenschaft nachzurechnen! siehe dazu auch die definition des supremums!!!

29.10.2007, 17:32

WebFritzi

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RE: Sup(A+B)=SupA + SupB

Zitat:

Original von bishop
Sup(A+B)=SupA + SupB

Was meinst du damit eigentlich? Sind A und B Mengen in IR? Was ist dann A+B? Meinst du folgendes?

$\begin{eqnarray*} A+B := \{a+b : a\in A,\,b\in B\} \end{eqnarray*}$

Wenn ja, dann stimmt die Beziehung. Hingegen ist

$\begin{eqnarray*} \sup_n(a_n + b_n) = \sup_n a_n + \sup_n b_n \end{eqnarray*}$

für Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ falsch.

18.12.2007, 22:34

Klappergrasmuecke

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ich grabe diesen alten thread wieder aus, da ich gerade versuche dieselbe aufgabe zu lösen. ich präsentiere mal meinen versuch, der noch eine schwäche hat glaube ich:

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} supA+supB=sup(A+B) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt sind, ist auch $\begin{eqnarray*} A+B \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt.
Sei nun $\begin{eqnarray*} s:=supA+supB \end{eqnarray*}$ .

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$\begin{eqnarray*} s=sup(A) \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 : \exists x \in A+B: s - \varepsilon < x \end{eqnarray*}$
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EDIT: es sollte so heißen:

$\begin{eqnarray*} s=sup(A+B) \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 : \exists x \in A+B: s - \varepsilon < x \end{eqnarray*}$
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$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 : \exists x \in A+B: supA + supB - \varepsilon < x \end{eqnarray*}$

Da nach Definition $\begin{eqnarray*} supA \geq a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} supB \geq b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0 : \exists x \in A+B:\forall a \in A \wedge \forall b \in B: a+b - \varepsilon < x \end{eqnarray*}$

Dies ist für $\begin{eqnarray*} x=a+b \end{eqnarray*}$ immer wahr.

Nur bin ich mri beim roten "folgt" unsicher, denn ich muss ja eigentlich ein "ist äquivalent zu" haben damit der beweis wirklich greift oder?

18.12.2007, 22:40

tmo

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Zitat:

Original von Klappergrasmuecke

$\begin{eqnarray*} s=sup(A) \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 : \exists x \in A+B: s - \varepsilon < x \end{eqnarray*}$

schon das stimmt z.b. nicht für $\begin{eqnarray*} A = \{10\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \{-100\} \end{eqnarray*}$ .

sup(A) hat doch nichts mit B zu tun. warum bringst du B also schon hier ins spiel?

18.12.2007, 22:51

Klappergrasmuecke

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entschuldige, es sollte $\begin{eqnarray*} s=sup(A+B) \end{eqnarray*}$ heißen

18.12.2007, 22:59

tmo

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mit diesem beweis bin ich nicht einverstanden.

du musst mit der vorraussetzung anfangen und daraus die behauptung folgern.

ich gebe dir mal 2 ungleichungen auf den weg, welche mit ein paar quantoren versehen ein teil der vorraussetzung bilden:

$\begin{eqnarray*} sup(A)-\frac{\varepsilon}{2}<a, a \in A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sup(B)-\frac{\varepsilon}{2}<b, b \in B \end{eqnarray*}$

ungleichungen darf man übrigens addieren Augenzwinkern

18.12.2007, 23:06

Klappergrasmuecke

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oh, das is elegant! wieso komme ich nicht selber auf sowas unglücklich

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Sup(A+B)=SupA + SupB

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