Beweis oder Gegenbeispiel

29.10.2007, 16:56

Moee

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis oder Gegenbeispiel

Hallo, kann mir bitte jemand bei der folgenden aufgabe paar anregungen geben?

Richtig oder falsch? Geben sie jeweils einen beweis oder ein gegenbeispiel an. erfüllen zwei n-tupel a = ( $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ ), b = ( $\begin{eqnarray*} b_1,...,b_n \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^n, \end{eqnarray*}$ die bedingung:

$\begin{eqnarray*} a_1x_1 + ...+ a_nx_n = b_1x_1 + ...+ b_nx_n \end{eqnarray*}$ für alle ( $\begin{eqnarray*} x_1,....,x_n) \in \mathbb R ^n, \end{eqnarray*}$ so folgt a = b.

29.10.2007, 17:01

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es keine weiteren Einschränkungen, z.B. an die x'e?

air

29.10.2007, 17:02

Moee

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, keine weiteren Einschränkungen. Das ist die komplette aufgabe

29.10.2007, 17:07

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuche mal den trivialsten Fall vorzustellen, den du dir gerade ausmalen kannst.

air

29.10.2007, 17:08

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll für alle Tupel $\begin{eqnarray*} (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gelten.

Schaue doch mal, wie sich die Gleichung verhält, wenn du nur Tupel aus der Standardbasis $\begin{eqnarray*} \{(1, 0, 0, \ldots, 0), (0, 1, 0, \ldots, 0), \ldots, (0, \ldots, 0, 1) \} \end{eqnarray*}$ nimmst.

29.10.2007, 17:19

DerHochpunkt

Auf diesen Beitrag antworten »

mal ne frage:

kann man nicht einfach den term von der rechten seite der gleichung nach links bringen (subtraktion) und dann a und b ausklammern und dann durch den x tupel teilen? dann wäre nämlich a=b Wink

Wink

Anzeige

29.10.2007, 17:33

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zu $\begin{eqnarray*} (a_1-b_1)x_1 + \ldots + (a_n-b_n)x_n = 0 \end{eqnarray*}$

kannst du gehen. Du kannst aber nicht jeden Summanden durch was anderes teilen!

@Tobias
Ich bezog mich übrigens auf den noch einfacheren Fall: $\begin{eqnarray*} (x_1,\ldots,x_n) = (0,\ldots,0) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

air

29.10.2007, 17:51

Moee

Auf diesen Beitrag antworten »

ersteinmal vielen Dank für eure Antworten.

Mein Problem ist weniger herauszufinden ob a=b sondern vielmehr zu beweisen, dass dem so ist.

@DerHochpunkt
"mal ne frage:

kann man nicht einfach den term von der rechten seite der gleichung nach links bringen (subtraktion) und dann a und b ausklammern und dann durch den x tupel teilen? dann wäre nämlich a=b"

das war auch mein erster Ansatz. Im Prinzip ist ja ein Tupel (n-Tupel) eine Menge mit geordneten Elementen....darum weiss ich nicht ob man da so verfahren kann wie bei dem lösen einer Gleichung....Mal abgesehen von dem was Airblader schon sagte....

@Tobias
Wenn mich nicht alles täuscht ist das kein allgem. Gültiger Beweis mehr. Würde mich aber freuen, wenn ich mich irre Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist so offensichtlich und dennoch schwierig für mich einen gescheiten Ansatz zu entwickeln.

Im Grunde fällt mir auch nichts weiteres ein als den Term bis a=b zu reduzieren....oder vielleicht gibt es auch ein Axiom was sich anwenden lässt...?

29.10.2007, 17:57

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Gib doch einfach ein Gegenbeispiel an. smile

smile

Wie gesagt, betrachte mal den Fall, dass alle x1,...x_n einfach Null sind (dieser Fall ist ja nicht ausgenommen).

air

29.10.2007, 18:07

Moee

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir für den Tipp. Die Lösung scheint richtig zu sein, aber ist es nicht etwas zu simpel? Gibt es noch vielleicht einen anderen weg das zu beweisen damit ich mir der korrekten lösung sicher bin? Hammer

Hammer

29.10.2007, 18:18

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann kein Gegenbeispiel anbringen, denn es stimmt.

Zitat:

Wenn mich nicht alles täuscht ist das kein allgem. Gültiger Beweis mehr. Würde mich aber freuen, wenn ich mich irre

Du irrst.

Augenzwinkern

Wenn $\begin{eqnarray*} a_1x_1 + ...+ a_nx_n = b_1x_1 + ...+ b_nx_n \end{eqnarray*}$ für alle Tupel x gilt, so natürlich auch für die x aus der schon genannten Standardbasis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir z.B. das Tupel $\begin{eqnarray*} (1, 0, \ldots, 0) \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} a_1 = b_1 \end{eqnarray*}$

mit den entsprechend anderen Tupen der Basis folgt $\begin{eqnarray*} a_i = b_i \end{eqnarray*}$ für jedes i.

Und das impliziert sofort a=b.

29.10.2007, 18:24

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@Tobias

Und wie sieht es mit folgenden Fällen aus?:

(0,...,0) für das Tupel der x
(1,...,1) für das Tupel der x und für b eine Permutation von a (dann sind a und b nicht gleich)
...

air

29.10.2007, 18:26

Moee

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das stimmt. Allerdings wenn ich beispielsweise das tupel x = (0,0,0,0) verwende, welches ja in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ liegt, könnten a und b auch unterschiedlich sein und die gleichung wäre dennoch erfüllt. d.h. dass nicht zwangsweise a = b folgt oder verstehe ich da etwas falsch?

29.10.2007, 18:27

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir klar machen, dass die Gleichheit $\begin{eqnarray*} a_1x_1 + ...+ a_nx_n = b_1x_1 + ...+ b_nx_n \end{eqnarray*}$ für alle x Voraussetzung ist.

Klar kann man nicht nur aus x = (0, .., 0) oder x = (1, ..., 1) die Schlussfolgerung ziehen, dass a=b. Aber wenn es für alle x gilt, dann schon.

Das Argument ist ganz simpel:

$\begin{eqnarray*} a_1x_1 + ...+ a_nx_n = b_1x_1 + ...+ b_nx_n \end{eqnarray*}$ gilt für alle x

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} a_1x_1 + ...+ a_nx_n = b_1x_1 + ...+ b_nx_n \end{eqnarray*}$ gilt für x aus Standardbasis

daraus folgt:

a1 = b1 und a2 = b2 und ... und an = bn

daraus folgt:

a = b

29.10.2007, 18:37

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

@Tobias & Moee

Oh, da habe ich tatsächlich nicht ordentlich gelesen.

Tobias hat natürlich absolut Recht.

air

29.10.2007, 18:42

Moee

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Die Gleichheit dieser Gleichung ist die Vorraussetzung, die man als gegeben nehmen muss und sie gilt FÜR ALE x. D.h. x ist für die Betrachtung nicht weiter relevant bzw. welche Werte x annehmen kann.... Wenn die gleichheit gegeben ist und das ist sie da vorraussetzung, dann folgt ai=bi und demnach auch die Gleichheit der Tupel a und b. Ist das Argument mir der Standardbasis denn zwingend erforderlich?

29.10.2007, 18:59

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, man kann jede beliebige Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ benutzen. Aber mit der Standardbasis ist es sofort ersichtlich. Ich denke einfacher bekommst du es nicht.

29.10.2007, 20:12

Moee

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bedanke mich für eure hilfe. Vielen dank Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »