Fixpunktsatz

29.10.2007, 19:58	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktsatz Zur Lösung von $\begin{eqnarray} x+ln(x)=0 \end{eqnarray}$ steht die folgende Formel zu Verfügung $\begin{eqnarray} x=g_1(x):= -ln(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=g_2(x):= e^{-x} \end{eqnarray}$ Untersuchen Sie die Funktionen auf Eignung für das Fixpunktverfahren. Geben Sie jeweils ein entsprechendes nicht triviales Intervall und zugehörigen Kontraktionsfaktor an, oder begründen Sie die Unbrauchbarkeit der Funktionen
29.10.2007, 20:29	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
bitte verschieben in analysis sry
29.10.2007, 21:38	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Was ist dir denn unklar?
29.10.2007, 22:36	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich weiß wie man das macht also man nimmt eine zahl und wendet die immer wieder darauf an und dadurch bekommt man den fixpunkt. aber wie macht man das hierbei? gibs da irgendein verfahren? hab an fourierreihe gedacht...
29.10.2007, 23:06	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst dien Gleicung umstellen entweder zu x=-ln(x) oder zu x=e^-x Das sind jetzt Fixpunktgleichungen. Für diese kannst du den Banachschen Fixpunktsatz verwenden, falls die Funktion gewisse Eigenschaften erfüllt. Diese müßtet ihr gehabt haben, und genau diese sollst du entweder verifizieren und dabei auftretende Größen abschätzen oder zeigen, daß die Eigenschaften eben nicht gelten, und damit der Fixpunktsatz keine Aussage liefert.
29.10.2007, 23:17	Buef	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich weiß, dass es gegen einen bestimmten punkt konvergiert aber die konvergieren doch nicht für x-->00
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29.10.2007, 23:46	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, mal etwas allgemeiner: Wir betrachten die Fixpunktgleichung x=f(x) auf dem Intervall [a,b], wobei f:[a,b]->[a,b], d.h. die Bilder von f liegen auch wieder im Intervall. Der Banachsche Fixpunktsatz besagt (auf diesen Spezialfall umformuliert): Wenn die Abbildung f auf [a,b] kontraktiv ist, d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray} \gamma<1 \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \|f(x_1)-f(x_2)\|\leq\gamma\|x_1-x_2\| \forall x_1,x_2\in\left[a,b\right] \end{eqnarray}$ dann gilt: 1.) Es existiert eine eindeutig bestimmte Lösung x* von f(x)=x auf [a,b] 2.) Diese kann durch sukzessive Approximation bestimmt werden, d.h. bei beliebiger Wahl von x aus [a,b] konvergiert die Folge f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... gegen x. Du willst immer auf den zweiten Teil raus, der ist hier aber gar nciht gefragt. Gefragt ist vielmehr, ob es ein passendes Intervall gibt, so daß f dieses Intervall wieder in sich abbildet (nicht unbedingt surjektiv) * f dort kontraktiv ist (damit du den Satz anwenden kannst) Falls es das gibt, sollst du das Intervall angeben und eine passende Kontraktionskonstante. Falls nicht, sollst du begründen, warum.

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